Билет 9

Смешанное произведение векторов, свойства, геометрический смысл. Компланарность векторов. Вывод формулы для вычисления смешанного произведения.

Определение. Смешанным произведением векторов , называется число , равное скалярному произведению вектора на вектор то есть

Основные свойства смешанного произведения векторов:

1. Имеют место равенства:

2. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный:

3. Свойство распределительности:

4. Свойство сочетательности:

5. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю, например

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей (формула смешанных векторов)

Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:

Компланарность векторов

Определение и условие. Векторы лежат водной плоскости, то есть компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, то есть

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Объем параллелепипеда, построенного на вектора (рис. 23), определяется по формуле:

где знак плюс выбирается, если определитель третьего порядка равен положительному значению, и знак минус – в противоположном случае.

2. Объем пирамиды, построенной на вектора , определяется по формуле:

где знак плюс выбирается, если определитель третьего порядка равен положительному значению, и знак минус – в противоположном случае.

Пусть дан параллеллипипед, построенный на векторах (рис 23) Высоту параллелипипеда, которая проведена к нижнему основанию, образованному векторами можно найти по формуле:

Пусть дана пирамида, построенная на векторах (рис 24). Высоту пирамиды, которая проведена к основанию, образованному векторами можно найти по формуле: