Билет 2

Понятия алгебраического дополнения и минора, разложение определителя. Свойства определителей

Минором элемента называется определитель (n − 1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством

Теорема "О разложении по строке или столбцу". Сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю:

Свойства определителя:

1. Из данного свойства вытекает, что все утверждения, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.
2. Если одна строка матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.

3. Если строку матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число.

4. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель поменяет знак на противоположный.

5. Определитель матрицы с равными строками равен нулю.

6. Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю.

7. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых

Понятие базиса пространства. Разложение вектора по базису

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов (базисных векторов).

Теорема о разложении вектора по базису.

Если — базис n-мерного линейного пространства V, то любой вектор 𝑣 ∈ V может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно.

Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом. Действительно, размерность пространства V равна n. Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора V, получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из n+1 векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что координаты единственным образом определяют вектор.

Практика. Задачи.