> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-6.md).

# Билет 6

### Нахождение обратной матрицы. Проверка. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

**Обратной матрицей** к квадратной матрице$$A$$ называется такая матрица (обозначается $$A^{−1}$$), что $$A^{−1} · A = A · A^{−1} = E$$. Если обратная матрица существует, то она единственная. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда матрица $$A$$ — невырожденная, то есть $$|A|\ne0$$.

**Присоединенной матрицей** к квадратной матрице $$A = (a\_{ij})$$ называется матрица $$\widetilde A= (A\_{ij})^T$$ , полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений $$A\_{ij}$$ к элементам $$a\_{ij}$$, где $$A\_{ij}=(-1)^{i+j}M\_{ij}$$.

Обратную матрицу можно искать двумя путями:

1. *Метод присоединённой матрицы* заключается в применении формулы:

   $$
   A^{-1}=\frac{1}{|A|}\widetilde A
   $$
2. *Метод элементарных преобразований* состоит в следующем. Приписывая справа к матрице $$A$$ размера $$n×n$$ единичную матрицу такого же размера, получим прямоугольную матрицу $$B = (A|E)$$ размера $$n×2n$$. С помощью элементарных преобразований над строками матрицы B приводим ее к виду $$B\_1 = (E|A^{−1})$$.

Чтобы проверить обратную матрицу, умножьте её на исходную. Если получилась единичная матрица, то всё хорошо.

Уравнения, подходящие под формулы слева, решаются соответствующими формулами справа. Для решения матрицы $$A,C$$ должны быть невырождены.

$$
\begin{aligned} A· X=B&\implies X=A^{-1}·B\ X·A=B&\implies X=B·A^{-1}\ A·X·C=B&\implies X=A^{-1}·B·C^{-1} \end{aligned}
$$

### Уравнение прямой, проходящей через две точки. Переход от этих уравнений к общему уравнению прямой и обратно.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $$M\_1(x\_1,y\_1,z\_1)$$ и $$M\_2(x\_2,y\_2,z\_2)$$, выглядит так:

$$
\frac{x-x\_1}{x\_2-x\_1}=\frac{y-y\_1}{y\_2-y\_1}=\frac{z-z\_1}{z\_2-z\_1}
$$

Общее уравнение прямой выглядит так:

$$
Ax+By+Cz+D=0
$$

### Практика. Задачи

1. Задача.

Дано:

$$
\begin{array}{l} V=5\ A(2,1,-1)\ B(3,0,1)\ C(2,-1,3)\ D\sub Oy\implies D(0,a,0) \end{array}
$$

Тетраэдр — пирамида, направляемая векторами $$\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}$$. Найдём их координаты, вычтя из координат точек конца координаты точек начала:

$$
\begin{array}{l} \vec{AB}={1,-1,2}\ \vec{AC}={0,-2,4}\ \vec{AD}={-2,a-1,1} \end{array}
$$

Известно, что

$$
V=\frac{1}{6}|(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})|
$$

Подставляем, считаем:

$$
\begin{array}{l} 5=\frac{1}{6} \begin{vmatrix} 1&-1&2\ 0&-2&4\ -2\&a-1&1 \end{vmatrix}\ 5=\frac{1}{6}(4a+2)\ 30=4a+2\ 28=4a\ a=\frac{28}{4}=7 \end{array}
$$

Итоговые координаты вершины: $$D(0,7,0)$$.

2\. Задача.

$$
\Bigg\[ \begin{array}{l} \begin{cases} -a+2b=0\ 2a+5b=-5\ \end{cases}\ \begin{cases} -5a=0\ b=-5 \end{cases} \end{array} \iff \Bigg\[ \begin{array}{l} \begin{cases} a=2b\ 9b=-5 \end{cases}\ \begin{cases} a=0\ b=-5 \end{cases} \end{array} \iff \Bigg\[ \begin{array}{l} \begin{cases} a=\frac{-10}{9}\ b=\frac{-5}{9} \end{cases}\ \begin{cases} a=0\ b=-5 \end{cases} \end{array}
$$

Получаем два числа:

* $$z\_1=\frac{-10}{9}+\frac{-5}{9}i$$
* $$z\_2=-5i$$

Похоже, что они **неправильные**.<br>