Билет 1

Понятие определителя. Вычисление определителей 1,2 и 3-го порядка. Свойства определителей.

Определителем матрицы А порядка n называется число -

где суммирование ведется по всем перестановкам из n чисел, а каждое слагаемое берется со знаком плюс или минус в зависимости от четности перестановки.

Свойства определителя:

1. Из данного свойства вытекает, что все утверждения, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.
2. Если одна строка матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.

3. Если строку матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число.

4. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель поменяет знак на противоположный.

5. Определитель матрицы с равными строками равен нулю.

6. Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю.

7. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых

Элементы векторной алгебры, основные понятия.

Определение. Вектором называется направленный отрезок.

Обозначение. У вектора точка A называется началом вектора, а точка B - конец вектора.

Определение. Модулем вектора называется его длина. Если вектор задан прямоугольными координатами a = (x,y,z), тогда:

Определение. Векторы называются противоположными.

Определение. Если начальная и конечная точки вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается 0.

Определение. Два вектора называются равными, если они имеют общее направление и одинаковые длины.

Определение. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

Определение. Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой), называются коллинеарными.

Определение. Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины, называются равными.

Определение. Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.

Каждый вектор равен сумме произведений трех основных векторов на соответствующие координаты вектора :

Определение. Пусть даны две точки Тогда координаты вектора вычисляются по следующей формуле:

Расстояние между точками равно:

Скалярным произведением вектора на вектор называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Согласно определению:

Практика. Задачи

2. Задача