> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-25.md).

# Билет 25

### Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов.

Система векторов $$a\_1,a\_2,...,a\_m$$ линейного пространства называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел $$a\_1,a\_2,...,a\_m$$, обладающих свойством 

$$a\_1a\_1 + a\_2a\_2 +...+a\_ma\_m = θ$$

в противном случае система векторов называется линейно независимой.

Таким образом, если система векторов линейно независима и то все коэффициенты $$а\_i$$должны быть нулевыми.

Из определения следует, что система состоящая из единственного вектора, будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Система векторов, содержащая более одного вектора, будет линейно зависимой, когда какой-то вектор системы есть линейная комбинация остальных векторов.

Любая система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, сама будет линейно зависимой.

Основная Теорема о линейной зависимости – Пусть даны две системы векторов $$a\_1,...,a\_m$$ и $$b\_1,...,b\_n$$. Первая система векторов является линейно независимой, и каждый вектор первой системы есть линейная комбинация векторов второй системы, тогда m ≤ n.

### Определение комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами.

![](/files/HoyIZEakAVtmVrufEPZU)

![](/files/fiRCAQIYLQvhzjH2X5FT)

### Практика. Задачи.

![](/files/zNKCrGnF52Wat8HH5wWA)