> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-31.md).

# Билет 31

### **Векторы в пространстве. Основные определения.**

Величины, которые полностью определяются заданием своих числовых значений, называются скалярными величинами (масса, длина, площадь). Величины, для задания которых необходимо знать еще и направление, называются векторными величинами (сила, скорость, ускорение). Вектором $$\vec{AB}$$ называется направленный отрезок: A – начальная точка, B – конечная точка.

Векторы$$\vec{AB}$$ и $$\vec{BA}$$ называются противоположными.

Если начальная и конечная точки вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается $$\vec{0}$$.

Два вектора называются равными, если они имеют общее направление и одинаковые длины.

Длина вектора $$\vec{AB}$$ – это неотрицательное число, равное длине отрезка AB. 

Существует два правила геометрического сложения векторов:

1\. При нахождении суммы векторов $$\vec{a}$$ + $$\vec{}b$$ по правилу треугольника от конечной точки вектора $$\vec{a}$$ откладывают вектор  $$\vec{}b$$. Тогда вектор $$\vec{a}$$ + $$\vec{}b$$ направлен от начальной точки вектора $$\vec{a}$$ к конечной точке вектора $$\vec{}b$$.

2\. При нахождении суммы векторов $$\vec{a}$$ + $$\vec{}b$$  по правилу параллелограмма нужно отложить векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{}b$$ от одной точки и построить на векторах $$\vec{a}$$ и $$\vec{}b$$ параллелограмм. Тогда вектор-диагональ параллелограмма, выходящий из общей начальной точки векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{}b$$ есть вектор суммы $$\vec{a}$$ + $$\vec{}b$$ .

Произведением вектора $$\vec{a}$$ на число λ называется новый вектор λ$$\vec{a}$$ , длина которого равна             |λ| · |$$\vec{a}$$|, а направление совпадает с направлением вектора  $$\vec{a}$$, если λ > 0 и противоположно ему при λ < 0.

Каждый вектор $$\vec{m}$$ равен сумме произведений трех основных векторов на соответствующие координаты вектора  $$\vec{m}$$ : $$\vec{m}$$ = (x, y, z) = $$\vec{x}$$ i +  $$\vec{y}$$ j +  $$\vec{z}$$ k.

Пусть даны две точки $$A(x1, y1, z1)$$ и $$B(x2, y2, z2)$$. Тогда координаты вектора $$\vec{AB}$$ вычисляются по следующей формуле:  $$\vec{AB}$$ $$= (x\_2 − x\_1, y\_2 − y\_1, z\_2 − z\_1)$$.

Модулем или длиной вектора |$$\vec{a}$$| называется длина отрезка, изображающего вектор. Если вектор $$\vec{a}$$ задан прямоугольными координатами $$\vec{a}$$ = (x, y, z), тогда |$$\vec{a}$$| = $$√(x^2+y^2+z^2)$$.

### **Системы линейных уравнений. Теорема о совместности системы линейных уравнений.**

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными $$x\_1, x\_2, . . . , x\_n:$$

![](/files/UXcxl7RI8008A8koskl3)

Если эта система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Если система имеет более одного решения, то любое решение этой системы называется частным решением.

&#x20;

&#x20;

Пусть A – матрица системы. Тогда расширенная матрица системы имеет вид A = (A|B) =&#x20;

![](/files/91BzTCbkxvRclNa25fy6)

Теорема о совместности (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы A равен рангу расширенной матрицы системы $$A ̅$$: r(A) = r($$A ̅$$). Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определена она или нет. При этом возможны три варианта:

1\) Если r(A) < r($$A ̅$$) (то есть ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы системы), то система несовместна.

2\) Если r(A) = r($$A ̅$$) = n (где n – число неизвестных), то система совместна и имеет единственное решение, то есть определена.

3\) Если r(A) = r($$A ̅$$) < n, то система совместна и имеет более одного решения, то есть не определена.

&#x20;

### Практика. Задачи

![ ](/files/R2Kyw83Zk90N9nZnUyGH)

![](/files/zN4w5CaWsC4rh0eVDj5m)

![](/files/X5a8yV9h3RXEvKi5ficK)

![](/files/0Zh2XMlgmIzdT6VRiD0C)

![](/files/4G3Rf0aWNPP5ImhdNXe7)