Билет 31

Векторы в пространстве. Основные определения.

Величины, которые полностью определяются заданием своих числовых значений, называются скалярными величинами (масса, длина, площадь). Величины, для задания которых необходимо знать еще и направление, называются векторными величинами (сила, скорость, ускорение). Вектором $\vec{AB}$ называется направленный отрезок: A – начальная точка, B – конечная точка.

Векторы$\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ называются противоположными.

Если начальная и конечная точки вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается $\vec{0}$.

Два вектора называются равными, если они имеют общее направление и одинаковые длины.

Длина вектора $\vec{AB}$ – это неотрицательное число, равное длине отрезка AB.

Существует два правила геометрического сложения векторов:

1. При нахождении суммы векторов $\vec{a}$ + $\vec{}b$ по правилу треугольника от конечной точки вектора $\vec{a}$ откладывают вектор $\vec{}b$. Тогда вектор $\vec{a}$ + $\vec{}b$ направлен от начальной точки вектора $\vec{a}$ к конечной точке вектора $\vec{}b$.

2. При нахождении суммы векторов $\vec{a}$ + $\vec{}b$ по правилу параллелограмма нужно отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{}b$ от одной точки и построить на векторах $\vec{a}$ и $\vec{}b$ параллелограмм. Тогда вектор-диагональ параллелограмма, выходящий из общей начальной точки векторов $\vec{a}$ и $\vec{}b$ есть вектор суммы $\vec{a}$ + $\vec{}b$ .

Произведением вектора $\vec{a}$ на число λ называется новый вектор λ$\vec{a}$ , длина которого равна |λ| · |$\vec{a}$|, а направление совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если λ > 0 и противоположно ему при λ < 0.

Каждый вектор $\vec{m}$ равен сумме произведений трех основных векторов на соответствующие координаты вектора $\vec{m}$ : $\vec{m}$ = (x, y, z) = $\vec{x}$ i + $\vec{y}$ j + $\vec{z}$ k.

Пусть даны две точки $A(x1, y1, z1)$ и $B(x2, y2, z2)$. Тогда координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по следующей формуле: $\vec{AB}$ $= (x_2 − x_1, y_2 − y_1, z_2 − z_1)$.

Модулем или длиной вектора |$\vec{a}$| называется длина отрезка, изображающего вектор. Если вектор $\vec{a}$ задан прямоугольными координатами $\vec{a}$ = (x, y, z), тогда |$\vec{a}$| = $√(x^2+y^2+z^2)$.

Системы линейных уравнений. Теорема о совместности системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными $x_1, x_2, . . . , x_n:$

Если эта система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Если система имеет более одного решения, то любое решение этой системы называется частным решением.

Пусть A – матрица системы. Тогда расширенная матрица системы имеет вид A = (A|B) =

Теорема о совместности (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы A равен рангу расширенной матрицы системы A ̅: r(A) = r(A ̅). Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определена она или нет. При этом возможны три варианта:

1) Если r(A) < r(A ̅) (то есть ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы системы), то система несовместна.

2) Если r(A) = r(A ̅) = n (где n – число неизвестных), то система совместна и имеет единственное решение, то есть определена.

3) Если r(A) = r(A ̅) < n, то система совместна и имеет более одного решения, то есть не определена.

Практика. Задачи