> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-28.md).
# Билет 28
### **Системы линейных уравнений. Решение систем методом Гаусса.**
Метод исключения неизвестных (метод Гаусса).
Рассмотрим метод решения систем линейных уравнений с произвольной матрицей, который называется методом последовательного исключения неизвестных.
*Определение* 33. Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных называется равносильными, если множества всех решений этих систем совпадают.
*Теорема* 12. При элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы, система переходит в равносильную систему. На основании этой теоремы запишем расширенную матрицу системы A¯. Элементарными преобразованиями над строками матрицы, приведем ее к ступенчатому виду (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Эти действия называются прямым ходом метода Гаусса. После чего из системы, составленной на основе полученной матрицы, находим переменные с помощью последовательных подстановок (обратный ход метода Гаусса).
Если r(A) = r(A) = n, то система совместна и имеет единственное решение, которое можно найти, применяя обратный ход метода Гаусса. Если r(A) = r(A) < n, то система имеет более одного решения.
**Короче говоря, метод Гаусса заключается в том, чтобы все уравнения системы представить в виде расширенной матрицы, а потом все элементы матрицы ниже главной диагонали привести к нулю элементарными преобразованиями (сделать матрицу ступенчатой). А после этого вернуться от матрицы к системе уравнений, имея одно уравнение с известной переменной (z = 3, к примеру). Имея такую систему остается просто подставлять известные переменный в вышестоящие уравнения и, как итог, найти все неизвестные.**
**Начинать приводить матрицу к ступенчатому виду стоит с левого столбца, идя вправо.**
1\) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует **удалить** из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу .
В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .
2\) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует **удалить**. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой *одни нули*.
3\) Строку матрицы можно **умножить (разделить)** на любое число, отличное от нуля.
Пример решения СЛАУ методом Гаусса:
### **Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа.**
Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью
**Модуль комплексного числа.**
**Модуль комплексного числа вычисляется по формуле:**
**Аргумент комплексного числа.**
### Практика. Задачи.
1\. Составить уравнения прямой, проходящей через точку
перпендикулярно прямой и пересекающей эту
прямую. Найти расстояние от точки до искомой прямой.
2\. Решить систему по правилу Крамера
