Билет 28

Системы линейных уравнений. Решение систем методом Гаусса.

Метод исключения неизвестных (метод Гаусса).

Рассмотрим метод решения систем линейных уравнений с произвольной матрицей, который называется методом последовательного исключения неизвестных.

Определение 33. Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных называется равносильными, если множества всех решений этих систем совпадают.

Теорема 12. При элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы, система переходит в равносильную систему. На основании этой теоремы запишем расширенную матрицу системы A¯. Элементарными преобразованиями над строками матрицы, приведем ее к ступенчатому виду (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Эти действия называются прямым ходом метода Гаусса. После чего из системы, составленной на основе полученной матрицы, находим переменные с помощью последовательных подстановок (обратный ход метода Гаусса).

Если r(A) = r(A) = n, то система совместна и имеет единственное решение, которое можно найти, применяя обратный ход метода Гаусса. Если r(A) = r(A) < n, то система имеет более одного решения.

Короче говоря, метод Гаусса заключается в том, чтобы все уравнения системы представить в виде расширенной матрицы, а потом все элементы матрицы ниже главной диагонали привести к нулю элементарными преобразованиями (сделать матрицу ступенчатой). А после этого вернуться от матрицы к системе уравнений, имея одно уравнение с известной переменной (z = 3, к примеру). Имея такую систему остается просто подставлять известные переменный в вышестоящие уравнения и, как итог, найти все неизвестные.

Начинать приводить матрицу к ступенчатому виду стоит с левого столбца, идя вправо.

1) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу .

В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

2) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули.

3) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля.

Пример решения СЛАУ методом Гаусса:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа.

Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью

Модуль комплексного числа.

Модуль комплексного числа вычисляется по формуле:

Аргумент комплексного числа.

Практика. Задачи.

1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку

перпендикулярно прямой и пересекающей эту

прямую. Найти расстояние от точки до искомой прямой.

2. Решить систему по правилу Крамера