> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-13.md).

# Билет 13

### **Вывод формулы для вычисления скалярного произведения векторов. Проекция вектора на ось. Механическое приложение скалярного произведения векторов.**

![](/files/6NGWMaKx0GPuX2NrAJJs)

Произведение двух векторов это число, равное произведению длин векторов (их модулей) на косинус угла между ними.

#### Проекция вектора на ось.

Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком **«+»** или **«-»**.Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.

#### Механическое приложение скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.

### Уравнение плоскости в отрезках. Угол между плоскостями. Взаимное расположение плоскостей.

#### Уравнение плоскости в отрезках

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:

$$
x/a + y/b + z/c = 1
$$

где a, b и c это действительные числа, отличные от нуля. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые отсекаются плоскостью на осях координат Oх,Oу и Oz в трехмерной системе координат Oхуz. Откладываются длины отрезков от начала координат. Направление, в котором необходимо отложить длину отрезка, определяет знак, стоящий перед числом. Наличие «-» свидетельствует о том, что отрезок надо откладывать от нуля в отрицательном направлении оси.

#### Угол между плоскостями.

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях. Другими словами, в плоскости α мы провели прямую а, перпендикулярную с. В плоскости β — прямую b, также перпендикулярную с. Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b.

#### Взаимное расположение плоскостей.

Две пересекающиеся плоскости. Две плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.

**Две параллельные плоскости.** 

Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.

**Признаки параллельности плоскостей:**

1\) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

2\) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

**Признаки перпендикулярности прямой и плоскости:**

1\) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2\) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.