Билет 4

Понятие матрицы, виды матриц. Операции над матрицами.

Матрица – совокупность каких-то объектов, объединенных в группу вида:

Виды матриц:

• Квадратная матрица – (n x n), где кол-во строк == кол-во столбцов

• Диагональная матрица – Матрица, у которой элементы вне главной диагонали равны нулю.

• Единичная матрица – Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице

• Нулевая матрица – Все элементы равны нулю.

• Векторная матрица – Состоит из одной строки или одного столбца.

Операции над матрицами

• Сложение - Суммой матриц одинакового размера называется матрица того же размера элементы которой

Свойства сложения:

1. A + B = B + C (коммутативность)

2. (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (ассоциативность)

• Умножение на число

Произведением матрицы на число λ называется матрица того же размера, что и матрица A с элементами

Свойства умножения на число:

1. λ · (μ · A) = (λ · μ) · A (ассоциативность)

2. λ · (A + B) = λ · A + λ · B (дистрибутивность относительно сложения матриц)

3. λ + μ) · A = λ · A + μ · A (дистрибутивность относительно сложения чисел)

• Произведение (матрицу на матрицу)

Произведением A · B матриц A и B (размеров m × n и n × p соответственно) называется матрица C размера m × p, что

Таким образом, каждый элемент , находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы C, равен сумме произведений, соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. Произведение существует, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Свойства произведения матрицы на матрицу :

1. (A · B) · C = A · (B · C) (ассоциативность)

2. (A + B) · C = A · C + B · C (дистрибутивность)

3. A · (B + C) = A · B + A · C (дистрибутивность)

4. A · B ≠ B · A — отсутствует коммутативность

Если матрица квадратная, то ЕА=АЕ, где Е – единичная матрица.

• Транспонирование – это замена ее столбцов ее строками, а строк – столбцами.

Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой. Параметрическое и каноническое уравнения прямой на плоскости.

Общее уравнение прямой – Ax + By + C = 0

Неполные уравнения прямой - Уравнение прямой называют неполным если один из его коэффициентов равен нулю.

С = 0, A≠0, B≠0 – Прямая проходит через начало координат

A=0, B≠0, C≠0 – Прямая параллельна оси Ox

B=0, A≠0, C≠0 – Прямая параллельна оси Oy

B=C=0, A≠0 – Прямая совпадает с осью Oy

A=C=0, B≠0 – Прямая совпадает с осью Ox

Параметрическое уравнение прямой -

Каноническое уравнение прямой