Билет 32

Общее уравнение плоскости.

Плоскость в декартовой системе координат OXYZ может быть задана уравнением вида:

$Ax + By + Cz + D = 0,$

которое называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты (A;B;C) задают нормальный вектор плоскости $\vec{n}$, то есть вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Коэффициент $D$ связан с расстоянием $d$ от плоскости до начала координат формулой

При любом $λ≠0$ уравнение

$(λA)x+(λB)y+(λC)z+λD=0$

определяет ту же плоскость, то есть общее уравнение плоскости не единственно.

Тригонометрическая форма комплексного числа, действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Аргументом комплексного числа $z≠0$ называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором $\vec{z}$. Величина угла положительная - отчет ведется против часовой стрелки; отрицательная - по часовой стрелке.

Аргумент комплексного угла неоднозначен. Любые два аргумента комплексного числа отличаются на число, кратное $2π.$ Для обозначения всех аргументов комплексного числа $z$используется обозначение $arg⁡(z)$. Через φ обозначают главное значение аргумента в промежутке $(-π, π]$. Аргумент комплексного числа $z=0=0+0i$ не определен.

Аргумент комплексного числа $z=a+bi$ можно найти по формулам:

Аргумент комплексного числа $z=a+bi$ можно так же найти из следующего уравнения:

$tg φ= b/a$

Из этой формулы находим:

Каждое комплексное число $z=a+bi$, отличное от нуля, может быть записано в виде

$z=r(cos⁡φ+i*sin(⁡φ)),$

где r – модуль числа, $φ$ – любой из его аргументов. Эта форма записи называется тригонометрической.

Действия над числами в тригонометрической форме:

1) Два числа равны тогда и только тогда, когда:

$r_1=r_2,φ_1= φ_2+2πk,k∈Z$

2) Умножение:

$z_1 z_(2 )= r_1 r_2 (cos⁡(φ_1+φ_2 )+i*sin⁡(φ_1-φ_2))$

3) Деление:

$z_1/z_2 = r_1/r_2 *(cos⁡(φ_1-φ_2 )+i *sin⁡(φ_1-φ_2))$

4) Возведение в степень:

$z^n=(r(cos⁡φ+ i *sin⁡φ ))^n= r^n (cos⁡(nφ)+ i *sin⁡(nφ))$

5) $ω$ – корень из числа z, если $ω^n=z.$ Если z ≠ 0, то существует n корней из числа z, полученных из формулы:

$ω_k=\sqrt[n]z = \sqrt[n]z * (cos⁡ (φ+2πk)/n +i * sin⁡(φ+2πk)/n )$$,k=0,1,2,… , n-1$

Практика. Задачи