> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-32.md).

# Билет 32

### **Общее уравнение плоскости.**

Плоскость в декартовой системе координат OXYZ может быть задана уравнением вида:

$$Ax + By + Cz + D = 0,$$

которое называется общим уравнением плоскости.  Коэффициенты (A;B;C) задают нормальный вектор плоскости $$\vec{n}$$, то есть вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Коэффициент $$D$$ связан с расстоянием $$d$$ от плоскости до начала координат формулой

![](https://2862838851-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2FkUy7yw7sLnhUFzZhawEw%2Fuploads%2FDCqsgDZURquVRI4jUcW6%2Fimage.png?alt=media\&token=52004190-3f30-41a5-9628-fb010f05c831)

            При любом $$λ≠0$$ уравнение

 $$(λA)x+(λB)y+(λC)z+λD=0$$

определяет ту же плоскость, то есть общее уравнение плоскости не единственно.

### **Тригонометрическая форма комплексного числа, действия над комплексными числами в тригонометрической форме.**

Аргументом комплексного числа $$z≠0$$ называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором $$\vec{z}$$. Величина угла положительная - отчет ведется против часовой стрелки; отрицательная - по часовой стрелке.

Аргумент комплексного угла неоднозначен. Любые два аргумента комплексного числа отличаются на число, кратное $$2π.$$ Для обозначения всех аргументов комплексного числа $$z$$используется обозначение $$arg⁡(z)$$. Через φ обозначают главное значение аргумента в промежутке $$(-π, π]$$. Аргумент комплексного числа $$z=0=0+0i$$ не определен.

Аргумент комплексного числа $$z=a+bi$$ можно найти по формулам:

![](https://2862838851-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2FkUy7yw7sLnhUFzZhawEw%2Fuploads%2FuiL1Pm41pxvcYuCEjh6o%2Fimage.png?alt=media\&token=09a2752d-80ef-4b90-af0b-61eb7a338f76)

Аргумент комплексного числа $$z=a+bi$$ можно так же найти из следующего уравнения:

$$tg φ=  b/a$$

Из этой формулы находим:

![](https://2862838851-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2FkUy7yw7sLnhUFzZhawEw%2Fuploads%2FZATZ1UELAgyXms1zAu89%2Fimage.png?alt=media\&token=581a0b10-ae62-47e8-b626-8654f3bebe42)

Каждое комплексное число $$z=a+bi$$, отличное от нуля, может быть записано в виде

 $$z=r(cos⁡φ+i\*sin(⁡φ)),$$

            где r – модуль числа, $$φ$$ – любой из его аргументов. Эта форма записи называется тригонометрической.

Действия над числами в тригонометрической форме:

1\) Два числа равны тогда и только тогда, когда:

$$r\_1=r\_2,φ\_1= φ\_2+2πk,k∈Z$$

2\) Умножение:

 $$z\_1 z\_(2 )= r\_1 r\_2 (cos⁡(φ\_1+φ\_2 )+i\*sin⁡(φ\_1-φ\_2))$$

3\) Деление:

$$z\_1/z\_2 =  r\_1/r\_2  \*(cos⁡(φ\_1-φ\_2 )+i \*sin⁡(φ\_1-φ\_2))$$

4\) Возведение в степень:

$$z^n=(r(cos⁡φ+ i \*sin⁡φ ))^n= r^n (cos⁡(nφ)+ i \*sin⁡(nφ))$$

5\)    $$ω$$ – корень из числа z, если $$ω^n=z.$$ Если z ≠ 0, то существует n корней из числа z, полученных из формулы:

 $$ω\_k=\sqrt\[n]z = \sqrt\[n]z \* (cos⁡ (φ+2πk)/n +i \* sin⁡(φ+2πk)/n )$$$$,k=0,1,2,… , n-1$$

### Практика. Задачи

![](https://2862838851-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2FkUy7yw7sLnhUFzZhawEw%2Fuploads%2FAaqUJCepfioVK4fDlW1J%2Fimage.png?alt=media\&token=f73df2d8-429d-46b3-ab71-6c1078797fa8)

![](https://2862838851-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2FkUy7yw7sLnhUFzZhawEw%2Fuploads%2FxruadU9le2EYMkbxv5wm%2Fimage.png?alt=media\&token=55622095-d2e9-4940-8065-bc4c68449083)

![](https://2862838851-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2FkUy7yw7sLnhUFzZhawEw%2Fuploads%2FXdvoNxwl7MdJn0wbTi9O%2Fimage.png?alt=media\&token=e139e4a5-cb84-46c9-904d-be88ee96f4c7)

![](https://2862838851-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2FkUy7yw7sLnhUFzZhawEw%2Fuploads%2FlIKJ7w4QnPLxm4Y91PDN%2Fimage.png?alt=media\&token=9e16dc8f-761d-4bab-a688-9a8a71b71e99)