Билет 22

Определители, их свойства..

Определитель — это число, которое считается по определённым правилам и является одной из характеристик заданной матрицы.

Для любой матрицы размера N × N справедлива следующая формула по нахождению определителя:

Эта формула называется разложением по строке/столбцу.

Опр. Выражение $a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21}$ называется определителем матрицы второго порядка (или определителем второго порядка) и обозначается: |A|, det(A), ∆A, ∆.

Опр. Определителем третьего порядка называется выражение вида:

Отметим несколько правил для построения выражения.

1. Правило треугольников.

Выделим в этом определителе главную диагональ, образованную числами a11, a22, a33 и диагональ, образованную числами a31, a22, a13, которую будем называть побочной. Вычисляем произведение элементов, стоящих на главной диагонали и два произведения чисел, расположенных в вершинах двух равносторонних треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Складываем эти три произведения. Из полученной суммы вычитаем сумму произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и двух произведений чисел, расположенных в вершинах двух равносторонних треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали. На рисунке 1 это правило изображено схематически:

2. Правило Саррюса.

Припишем к матрице справа первый и второй столбцы и вычислим произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых (смотри рисунок 2). Затем найдем сумму этих произведений, при этом произведения элементов на прямых, параллельных главной диагонали, возьмем со знаком плюс, а произведения элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, – со знаком минус (согласно обозначениям на рисунке 2)

Рассмотрим свойства определителей.

Свойство 1. При перемене местами двух соседних строк (или столбцов) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина не изменяется.

Свойство 2. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

Свойство 3. Умножение всех элементов некоторой строки (или столбца) определителя на число λ, равносильно умножению определителя на это число, то есть постоянный множитель можно выносить за знак определителя из любой строки или из любого столбца.

Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Если элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Если к элементам некоторой строки (или столбца) определителя прибавить соответственно элементы другой строки (или столбца), умноженные на действительное число λ, то величина определителя не изменится.

Свойство 7. Значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами, и наоборот.

Свойство 8. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых, например:

Комплексные числа в алгебраической форме.

Алгебраическая форма записи комплексного числа.

Основные понятия, формулы и теоремы

Определение 1. Число $i = √−1$ называют мнимой единицей и для его обозначения используют букву i, т.е. $i^2 = −1$.

Определение 2. Запись комплексного числа z в виде $a+bi$ называется алгебраической формой записи комплексных чисел. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа $a+bi$ и обозначается $a = Re(z)$, действительное число b называют мнимой частью комплексного числа $a+bi$ (обозначается $b = Im(z)$).

Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, выполняются следующие операции:

1) Два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ равны тогда и только тогда, когда $a1 = a2, b1 = b2$, то есть когда равны соответственно действительные и мнимые части комплексных чисел.

Замечание 1. Операции сравнения для комплексных чисел не определены. Поэтому понятий "больше" и "меньше" для комплексных чисел не существует. Записи $i < 1, 2 +i > 0$ лишены всякого смысла.

2) Операции сложения и вычитания выполняются по формулам:

$(a_1 + b_1i) + (a_2 + b_2i) = a_1 + a_2 + (b_1 + b_2)i$,

$(a_1 + b_1i) − (a_2 + b_2i) = a_1 − a_2 + (b_1 − b_2)i.$

3) Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, производится следующим образом:

$(a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 − b_1b_2 + (a_1b_2 + b_1a_2)i$.

4) Комплексные числа $a+bi$ и $a-bi$, то есть числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Число, сопряженное к z обозначается z¯. Сумма $z + ¯z = a + bi + a − bi = 2a$ — всегда действительное число, а произведение $zz¯ = (a + b_i)(a − b_i) = a^2 + b^2$ — неотрицательное число.

5) Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, выполняется по следующему правилу:

Практика. Задачи

2) Задача