> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-19.md).
# Билет 19
### Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Единичная матрица.
**Матрица – совокупность каких-то объектов, объединенных в группу вида:**
**Виды матриц:**
* **Квадратная матрица** – (n x n), где кол-во строк == кол-во столбцов
* **Диагональная матрица** – Матрица, у которой элементы вне главной диагонали равны нулю.
* **Единичная матрица** – Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице
* **Нулевая матрица** – Все элементы равны нулю.
* **Векторная матрица** – Состоит из одной строки или одного столбца.
**Операции над матрицами**
* **Сложение -** Суммой матриц 
одинакового размера называется матрица 
того же размера элементы которой
**Свойства сложения:**
1. A + B = B + C (коммутативность)
2. (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (ассоциативность)
* **Умножение на число**
Произведением матрицы 
на число **λ** называется матрица 
того же размера, что и матрица **A** с элементами 
**Свойства умножения на число:**
1. λ · (μ · A) = (λ · μ) · A (ассоциативность)
2. λ · (A + B) = λ · A + λ · B (дистрибутивность относительно сложения матриц)
3. λ + μ) · A = λ · A + μ · A (дистрибутивность относительно сложения чисел)
* **Произведение (матрицу на матрицу)**
Произведением A · B матриц A и B (размеров m × n и n × p соответственно) называется матрица C размера m × p, что
Таким образом, каждый элемент 
, находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы C, равен сумме произведений, соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. **Произведение существует, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.**
**Свойства произведения матрицы на матрицу** :
1. (A · B) · C = A · (B · C) (ассоциативность)
2. (A + B) · C = A · C + B · C (дистрибутивность)
3. A · (B + C) = A · B + A · C (дистрибутивность)
4. A · B ≠ B · A — отсутствует коммутативность
**Если матрица квадратная, то ЕА=АЕ, где Е – единичная матрица.**
* **Транспонирование – это замена ее столбцов ее строками, а строк – столбцами.**
### Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов. Условия компланарности трех векторов.
Векторы *a = (x1, y1, z1)* и *b = (x2, y2, z2)* называются **коллинеарными**, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы *a = (x1, y1, z1) и \~b = (x2, y2, z2)* коллинеарны тогда и только тогда, когда
Таким образом, если вектор a – не нулевой, то любой вектор b, коллинеарный с ним, можно представить в виде b = λ · a. Два ненулевых вектора *a = (x1, y1, z1)* и *b = (x2, y2, z2)* **перпендикулярны**, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть
Векторы *a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2)* и *c = (x3, y3, z3)* лежат в одной плоскости, то есть **компланарны**, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, то есть
### Практика. Задачи.
1. Задача
2\. Задача
