Билет 19

Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Единичная матрица.

Матрица – совокупность каких-то объектов, объединенных в группу вида:

Виды матриц:

• Квадратная матрица – (n x n), где кол-во строк == кол-во столбцов

• Диагональная матрица – Матрица, у которой элементы вне главной диагонали равны нулю.

• Единичная матрица – Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице

• Нулевая матрица – Все элементы равны нулю.

• Векторная матрица – Состоит из одной строки или одного столбца.

Операции над матрицами

• Сложение - Суммой матриц одинакового размера называется матрица того же размера элементы которой

Свойства сложения:

1. A + B = B + C (коммутативность)

2. (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (ассоциативность)

• Умножение на число

Произведением матрицы на число λ называется матрица того же размера, что и матрица A с элементами

Свойства умножения на число:

1. λ · (μ · A) = (λ · μ) · A (ассоциативность)

2. λ · (A + B) = λ · A + λ · B (дистрибутивность относительно сложения матриц)

3. λ + μ) · A = λ · A + μ · A (дистрибутивность относительно сложения чисел)

• Произведение (матрицу на матрицу)

Произведением A · B матриц A и B (размеров m × n и n × p соответственно) называется матрица C размера m × p, что

Таким образом, каждый элемент , находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы C, равен сумме произведений, соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. Произведение существует, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Свойства произведения матрицы на матрицу :

1. (A · B) · C = A · (B · C) (ассоциативность)

2. (A + B) · C = A · C + B · C (дистрибутивность)

3. A · (B + C) = A · B + A · C (дистрибутивность)

4. A · B ≠ B · A — отсутствует коммутативность

Если матрица квадратная, то ЕА=АЕ, где Е – единичная матрица.

• Транспонирование – это замена ее столбцов ее строками, а строк – столбцами.

Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов. Условия компланарности трех векторов.

Векторы a = (x1, y1, z1) и b = (x2, y2, z2) называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы a = (x1, y1, z1) и ~b = (x2, y2, z2) коллинеарны тогда и только тогда, когда

Таким образом, если вектор a – не нулевой, то любой вектор b, коллинеарный с ним, можно представить в виде b = λ · a. Два ненулевых вектора a = (x1, y1, z1) и b = (x2, y2, z2) перпендикулярны, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть

Векторы a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) и c = (x3, y3, z3) лежат в одной плоскости, то есть компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, то есть

Практика. Задачи.

1. Задача

2. Задача