> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-10.md).

# Билет 10

### Решение систем линейных уравнений, базисные и свободные неизвестные. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений.

*Теорема Кронекера — Капелли:* Система имеет решение (т.е система **совместима**), если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы (т.е. матрица с ответами).

Если $$r(A)=(\overline{A})=n$$ (где $$n$$ — количество переменных), то решение **единственно**, если $$r(A)=(\overline{A})\<n$$ — решений несколько, количество неизвестных: $$n-r$$

*Алгоритм решения:*

1. Привести к ступенчатому виду

   $$
   \begin{pmatrix} 1&1&-1&-1&\vert& 1\1&1&-2&3&\vert&2\1&1&1&-9&\vert&-1 \end {pmatrix}\implies\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1&\vert&1\0&0&-1&4&\vert&1 \0&0&2&-8&\vert&-2\end {pmatrix}\implies \begin{pmatrix} 1&1&-1&-1&\vert&1\0&0&-1&4&\vert&1 \end {pmatrix}
   $$
2. Найти ранг получившейся матрицы

   $$
   R(A)=r(\overline{A})=2\<n
   $$
3. Найти количество неизвестных, вычев полученный ранг из количества переменных $$(n-r)$$

   $$
   n-r=4-2=2
   $$
4. Выбрать базисный минор, найти главные и свободные неизвестные

   $$
   \begin{vmatrix} 1&-1\0&-1\end{vmatrix}
   $$

   $$x\_1,x\_3$$ — главные

   $$x\_2,x\_4$$ — свободные
5. Перенести свободные за знак =

   $$
   \begin{cases}x\_1-x\_3=1-x\_2+x\_4\x\_3=4x\_4-1\end{cases}\implies\\\begin{cases} x\_1=5x\_4-x\_2\x\_3=4x\_4-1 \end{cases}
   $$
6. Решить систему относительно главных неизвестных (выражаем главные через свободные (можно подставить любые))

   $$
   \large X\_{general}=\begin{pmatrix}-x\_2+5x\_4\x\_2\4x\_4-1\x4\end{pmatrix}
   $$

   $$
   \large X\_{particular}=\begin{pmatrix}4\1\3\1\end{pmatrix}
   $$

### Уравнение прямой в отрезках. Переход от этих уравнений к общему уравнению прямой и обратно. Угол между прямыми на плоскости. Взаимное расположение прямых.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова систему координат $$O\_{xy}$$.Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат $$O\_{xy}$$ имеет вид $$\large\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1$$, где $$a$$ и $$b$$ - некоторые отличные от нуля действительные числа.

Уравнение прямой в отрезках не случайно получило такое название - абсолютные величины чисел a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях $$O\_{x}$$и $$O\_{y}$$, считая от начала координат.

Мы знаем, что координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению этой прямой. Тогда отчетливо видно, что прямая, заданная уравнением прямой в отрезках, проходит через точки $$(a,0)$$ и $$(0,b)$$ , так как $$\large\frac{a}{a}+\frac{0}{b}=1\iff1\equiv1$$ и $$\large\frac{0}{a}+\frac{b}{b}=1\iff1\equiv1$$.&#x20;

А точки $$(a,0)$$ и $$(0,b)$$  как раз расположены на координатных осях $$O\_{x}$$ и $$O\_{y}$$ соответственно и удаленны от начала координат на $$a$$ и $$b$$ единиц. Знаки чисел $$a$$ и $$b$$ указывают направление, в котором следует откладывать отрезки. Знак $$+$$ означает, что отрезок откладывается в положительном направлении координатной оси, знак $$-$$ означает обратное.

Изобразим схематический чертеж, поясняющий все вышесказанное. На нем показано расположение прямых относительно фиксированной прямоугольной системы координат $$O\_{xy}$$ в зависимости от значений чисел $$a$$ и $$b$$ в уравнении прямой в отрезках.

![](/files/6VKC7tmZO1dGaFtrOdcw)

Теперь стало понятно, что уравнение прямой в отрезках позволяет легко производить построение этой прямой линии в прямоугольной системе координат $$O\_{xy}$$. Чтобы построить прямую линию, которая задана уравнением прямой в отрезках вида $$\large\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$, следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки $$(a,0)$$ и $$(0,b)$$  , после чего соединить их прямой линией с помощью линейки.

*Переход от общего уравнения прямой к уравнению в отрезках:*

Пусть нам известно полное общее уравнение прямой на плоскости $$Ax+By+C=0$$. Так как $$A,B,C$$ не равны $$0$$, то можно перенести число $$C$$ в правую часть равенства, разделить обе части полученного равенства на $$-C$$, а коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ отправить в знаменатели:

$$
Ax+By+C=0\implies Ax+By=-C\implies \frac{A}{-C}x+\frac{B}{-C}y=1\implies\frac{x}{-\frac{C}{A}}+\frac{y}{-\frac{C}{B}}=1
$$

Так мы от общего уравнения прямой $$Ax+By+C=0$$ перешли к уравнению прямой в отрезках $$\large\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$, где $$\large a=-\frac{C}{A}, b=-\frac{C}{B}$$

Обратно действуем аналогично.

### Практика. Задачи.