Билет 17

Понятия алгебраического дополнения и минора, разложение определителя. Свойства определителей.

Свойства определителей:

Свойство 1. При перемене местами двух соседних строк (или столбцов) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина не изменяется.

Свойство 2. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

Свойство 3. Умножение всех элементов некоторой строки (или столбца) определителя на число λ, равносильно умножению определителя на это число, то есть постоянный множитель можно выносить за знак определителя из любой строки или из любого столбца.

Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Если элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Если к элементам некоторой строки (или столбца) определителя прибавить соответственно элементы другой строки (или столбца), умноженные на действительное число λ, то величина определителя не изменится.

Свойство 7. Значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами, и наоборот.

Свойство 8. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых.

Минором элемента называется определитель (n − 1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством

Разложение определителя: Сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю:

Равенства (21) можно принять за правила вычисления определителей. Первое из них называется разложением ∆n по элементам i-ой строки, а второе — разложением ∆n по элементам j-го столбца.

В соответствии со свойством 9, вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n − 1)-го порядка. Этот метод понижения порядка не эффективен. Используя основные свойства определителей, вычисление ∆n ≠ 0 всегда можно свести к вычислению одного определителя (n − 1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду ∆n все элементы, кроме одного, равными нулю.

Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку при двух заданных направляющих векторах. Переход от этих уравнений к общему уравнению плоскости и обратно.

Уравнение плоскости в отрезках: если известны абсцисса a, ордината b и аппликата c точек пересечения плоскости с координатными осями OX, OY и OZ соответственно, то можно составить уравнение плоскости в отрезках:

Из общего уравнения плоскости Ax+By+Cz+D = 0 можно получить уравнение плоскости в отрезках. Для этого надо перенести коэффициент D в правую часть и разделить обе части полученного уравнения на −D.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки: Пусть даны три различные точки не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости M(x; y; z) лежит в одной плоскости с точками M0, M1 и M2 тогда и только тогда, когда векторы

коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости M(x; y; z) лежит в одной плоскости с точками$M_0$, $M_1$ и $M_2$ тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

После вычисления определителя это уравнение становится общим уравнением плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку при двух заданных направляющих векторах: простите, я не нашла ничего ни в учебнике, ни в гугле :(

Практика. Задачи

1. Задача.

2. Задача