Билет 7

Ранг матрицы. Базисный минор. Методы нахождения ранга матицы.

Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Ранг матрицы обозначается rang(A) или через r(A).

Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы A, порядок которого равен r(A).

Методы нахождения ранга матрицы:

1. Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A состоит в следующем. Необходимо:

1) Найти какой-нибудь минор $M_1$ первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица A нулевая и r(A) = 0.

2) Вычислить миноры второго порядка, содержащие $M_1$ (окаймляющие $M_1$ ) до тех пор, пока не найдется минор $M_2$ , отличный от нуля. Если такого минора нет, то r(A) = 1, если есть, то r(A) ≥ 2. И т.д.

k) Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор $M_{k-1}≠0.$. Если таких миноров нет, или они все равны нулю, то r(A) = k − 1; если есть хотя бы один такой минор $M_{k}≠0.$, то r(A) ≥ k, и процесс продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его нужно только среди миноров, содержащих минор $M_{k-1}≠0.$

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу A приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками. Количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы A. (Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.)

Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Практика. Задачи