> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-15.md).

# Билет 15

### Решение систем линейных уравнений, базисные и свободные неизвестные. Метод Жордано-Гаусса решения СЛАУ.

* Решением системы линейных уравнений называется такой набор чисел, что при подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы обращается в тождество. 
* Базисными называются переменные, зависящие от свободных. 
* Метод Жордано-Гаусса — способ решения систем линейных алгебраических уравнений, путём последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. 

### Уравнение поверхности и линии в трёхмерном пространстве. Общее уравнение плоскости в пространстве. Направляющие векторы плоскости и вектор нормали. Неполные уравнения плоскости.

* Уравнение поверхности называется такое уравнение $$F(x, y, z) = 0$$ с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной поверхности и не удовлетворят координаты любой другой точки. 
* Уравнение линии в пространстве можно рассмотреть в виде пересечения двух плоскостей $$l:\begin{equation\*}  \begin{cases}    F\_1(x\_1, y\_1, z\_1),     \    F\_2(x\_2, y\_2, z\_2)  \end{cases} \end{equation\*}$$
* Общее уравнение плоскости в пространстве: $$Ax + By + Cz + D = 0$$, где $$={N} = (A,B,C)$$ — нормальный вектор плоскости . Коэффициент связан с расстоянием от плоскости до начала координат. 

![](https://2862838851-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2FkUy7yw7sLnhUFzZhawEw%2Fuploads%2F2BOXyYhePuVWh5wZkbA1%2Fimage.png?alt=media\&token=020684cb-b047-4858-b653-98417e7adddf)

* Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей. 
* Вектор нормали — любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости. 
* Неполные уравнения плоскости: 

1. $$Ax + By + Cz = 0$$ — плоскость проходит через начало координат.
2. $$Ax + By + D = 0$$ — плоскость параллельна OZ.
3. $$Ax + Cz + D = 0$$ - плоскость параллельна OY
4. $$By + Cz + D = 0$$ - плоскость параллельна OX
5. $$Ax + By = 0$$ - плоскость содержит ось OZ
6. $$Ax + Cz = 0$$ - плоскость содержит ось OY
7. $$By + Cz = 0$$ - плоскость содержит ось OX
8. $$Cz + D = 0$$ - плоскость параллельна плоскости XOY
9. $$By + D = 0$$ - плоскость параллельна плоскости XOZ
10. $$Ax + D = 0$$ - плоскость параллельна плоскости ZOY
11. $$x = 0$$ - плоскость ZOY
12. $$y = 0$$ - плоскость XOZ
13. $$z = 0$$ - плоскость XOY

### Практика. Задачи.

1. Задача

![](https://2862838851-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2FkUy7yw7sLnhUFzZhawEw%2Fuploads%2FOKPYnizvRKxBcis134k1%2Fimage.png?alt=media\&token=39a3de5b-7718-4eb5-be33-fd8146c5f650)