> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-16.md).

# Билет 16

### Смешанное произведение векторов, свойства, геометрический смысл. Компланарность векторов. Вывод формулы для вычисления смешанного произведения.

**Смешанное произведение трех векторов** – сочетание векторного и скалярного произведений (A \* B) \* C.

**Свойства смешанного произведения:**

* $$(A \* B) \* C = A \* (B \* C)$$;
* $$(A\*B)*C = -(B*A)\*C;$$
* $$(A\*B)*C = (B*C)*A = (C*A)\*B.$$

**Геометрический смысл смешанного произведения векторов**: если три вектора ![](/files/tGL9UENEkdI6uD36vgMa) правые, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на них ![](/files/T51qyOax2UHhRHTbTALn).

В случае левой тройки ![](/files/tGL9UENEkdI6uD36vgMa), смешанное произведение указанных векторов равно объему

параллелепипеда со знаком “–“: ![](/files/IX4ghVYolp0ex3Yu1KQr).

Если $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$ компланарны, то их смешанное произведение *= 0*.

Вывод: объем параллелепипеда, построенного на векторах $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$  равен [модулю](https://www.calc.ru/Absolyutnaya-Velichina-Modul.html) смешанного произведения этих векторов:

![](/files/FzRMUQioFsJsQ5JjZ5bZ)

### Прямая в трёхмерном пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве

Прямая в пространстве определяется как линия пересечения двух непараллельных плоскостей.

**Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве:** каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д. 

![](/files/nzPrFYkgtWvC8lwdi55X)

![](/files/UmVfpvv1tKExQuISBlVL)

![](/files/EvgIDYnSJmAqt3qg7veE)