> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-20.md).

# Билет 20

### Скалярные и векторные величины. Модуль вектора, равенство векторов. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Прямоугольные координаты вектора и точки. Линейные операции над векторами в прямоугольной системе координат.

Скалярным произведением вектора $$\vec{a}$$ на вектор $$\vec{b}$$ называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается ($$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$). 

($$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$) = |$$\vec{a}$$| · |$$\vec{b}$$| · cos(a, b) 

Векторным произведением \[$$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$] векторов  $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ называется третий вектор $$\vec{с}$$  который строится следующим образом:

1. модуль вектора $$\vec{с}$$ численно равен: |$$\vec{с}$$  = |$$\vec{a}$$| · |$$\vec{b}$$| · sin(a, b)
2. направление вектора c перпендикулярно к плоскости упомянутого параллелограмма.
3. направление вектора $$\vec{с}$$ выбирается так, чтобы векторы $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ и $$\vec{с}$$ составляли правую систему. 

Модулем или длиной вектора |$$\vec{a}$$| называется длина отрезка: $$|a| = √x²+y²+z²$$

Два вектора - равные, если они имеют общее направление и одинаковые длины. 

Линейные операции над векторами:

1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉
2. 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 ∀𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
3. 𝑣 + 𝑜 = 𝑣 ∀𝑣         ∈ 𝑉 ;
4. 𝑣 + (−𝑣) = 𝑜;
5. 𝜆(𝑢 + 𝑣) = 𝜆𝑢 + 𝜆𝑣 ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆 ∈ R;
6. (𝜆 + 𝜇)𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝜇𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆, 𝜇 ∈ R;
7. 𝜆(𝜇𝑣) = (𝜆𝜇)𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆, 𝜇 ∈ R;
8. 1 · 𝑣 = 𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉 . 

Пусть φ – угол между вектором $$\vec{a}$$ и осью l Тогда проекция $$\vec{a}$$ на I равна pr( $$\vec{I}$$, $$\vec{a}$$) = |$$\vec{a}$$| · cos φ. 

Прямоугольными координатами вектора $$\vec{m}$$ называются проекции вектора $$\vec{m}$$ на оси координат. 

При нахождении суммы векторов $$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ по правилу треугольника от конечной точки вектора $$\vec{a}$$ откладывают вектор $$\vec{b}$$ . Тогда вектор $$\vec{a}$$ + $$\vec{b}$$ направлен от начальной точки вектора $$\vec{a}$$ к конечной точке вектора $$\vec{b}$$ . 

Произведением вектора $$\vec{a}$$ на число λ называется новый вектор $$\vec{λ}a$$, длина которого равна |λ| · |$$\vec{a}$$|, а направление совпадает с направлением вектора $$\vec{a}$$ , если λ > 0 и противоположно ему при λ < 0.

### Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Рангом матрицы называется число равное числу векторов в МЛНП составленной из строк матрицы.&#x20;

Ранг любой матрицы равен ее строчному рангу и ее столбцовому рангу. Доказательство. Если строчный ранг A равен r, то в A найдется линейно независимая система из r строк, а значит, и невырожденная подматрица порядка r. Если при этом есть p>r различных строк A, то они линейно зависимы, и любая подматрица порядка p в них вырождена. Столбцовый ранг равен строчному рангу , значит, и 𝐴𝑇 рангу 𝐴𝑇 , а потому — рангу A.

### Практика. Задачи

![](/files/k19Kpmdu84KqhBKKbGA9)