Билет 20

Скалярные и векторные величины. Модуль вектора, равенство векторов. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Прямоугольные координаты вектора и точки. Линейные операции над векторами в прямоугольной системе координат.

Скалярным произведением вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается ($\vec{a}$, $\vec{b}$).

($\vec{a}$, $\vec{b}$) = |$\vec{a}$| · |$\vec{b}$| · cos(a, b)

Векторным произведением [$\vec{a}$, $\vec{b}$] векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется третий вектор $\vec{с}$ который строится следующим образом:

1. модуль вектора $\vec{с}$ численно равен: |$\vec{с}$ = |$\vec{a}$| · |$\vec{b}$| · sin(a, b)

2. направление вектора c перпендикулярно к плоскости упомянутого параллелограмма.

3. направление вектора $\vec{с}$ выбирается так, чтобы векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{с}$ составляли правую систему.

Модулем или длиной вектора |$\vec{a}$| называется длина отрезка: $|a| = √x²+y²+z²$

Два вектора - равные, если они имеют общее направление и одинаковые длины.

Линейные операции над векторами:

1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉

2. 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 ∀𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉

3. 𝑣 + 𝑜 = 𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ;

4. 𝑣 + (−𝑣) = 𝑜;

5. 𝜆(𝑢 + 𝑣) = 𝜆𝑢 + 𝜆𝑣 ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆 ∈ R;

6. (𝜆 + 𝜇)𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝜇𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆, 𝜇 ∈ R;

7. 𝜆(𝜇𝑣) = (𝜆𝜇)𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆, 𝜇 ∈ R;

8. 1 · 𝑣 = 𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉 .

Пусть φ – угол между вектором $\vec{a}$ и осью l Тогда проекция $\vec{a}$ на I равна pr( $\vec{I}$, $\vec{a}$) = |$\vec{a}$| · cos φ.

Прямоугольными координатами вектора $\vec{m}$ называются проекции вектора $\vec{m}$ на оси координат.

При нахождении суммы векторов $\vec{a}$ + $\vec{b}$ по правилу треугольника от конечной точки вектора $\vec{a}$ откладывают вектор $\vec{b}$ . Тогда вектор $\vec{a}$ + $\vec{b}$ направлен от начальной точки вектора $\vec{a}$ к конечной точке вектора $\vec{b}$ .

Произведением вектора $\vec{a}$ на число λ называется новый вектор $\vec{λ}a$, длина которого равна |λ| · |$\vec{a}$|, а направление совпадает с направлением вектора $\vec{a}$ , если λ > 0 и противоположно ему при λ < 0.

Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Рангом матрицы называется число равное числу векторов в МЛНП составленной из строк матрицы.

Ранг любой матрицы равен ее строчному рангу и ее столбцовому рангу. Доказательство. Если строчный ранг A равен r, то в A найдется линейно независимая система из r строк, а значит, и невырожденная подматрица порядка r. Если при этом есть p>r различных строк A, то они линейно зависимы, и любая подматрица порядка p в них вырождена. Столбцовый ранг равен строчному рангу , значит, и 𝐴𝑇 рангу 𝐴𝑇 , а потому — рангу A.

Практика. Задачи