> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kpfu.gitbook.io/kpfu/bilety/bilet-5.md).
# Билет 5
### Понятие матрицы, виды матриц. Операции над матрицами.
**Матрица – совокупность каких-то объектов, объединенных в группу вида:**
**Виды матриц:**
* **Квадратная матрица** – (n x n), где кол-во строк == кол-во столбцов
* **Диагональная матрица** – Матрица, у которой элементы вне главной диагонали равны нулю.
* **Единичная матрица** – Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице
* **Нулевая матрица** – Все элементы равны нулю.
* **Векторная матрица** – Состоит из одной строки или одного столбца.
**Операции над матрицами**
* **Сложение -** Суммой матриц 
одинакового размера называется матрица 
того же размера элементы которой
**Свойства сложения:**
1. A + B = B + C (коммутативность)
2. (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (ассоциативность)
* **Умножение на число**
Произведением матрицы 
на число **λ** называется матрица 
того же размера, что и матрица **A** с элементами 
**Свойства умножения на число:**
1. λ · (μ · A) = (λ · μ) · A (ассоциативность)
2. λ · (A + B) = λ · A + λ · B (дистрибутивность относительно сложения матриц)
3. λ + μ) · A = λ · A + μ · A (дистрибутивность относительно сложения чисел)
* **Произведение (матрицу на матрицу)**
Произведением A · B матриц A и B (размеров m × n и n × p соответственно) называется матрица C размера m × p, что
Таким образом, каждый элемент 
, находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы C, равен сумме произведений, соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. **Произведение существует, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.**
**Свойства произведения матрицы на матрицу** :
1. (A · B) · C = A · (B · C) (ассоциативность)
2. (A + B) · C = A · C + B · C (дистрибутивность)
3. A · (B + C) = A · B + A · C (дистрибутивность)
4. A · B ≠ B · A — отсутствует коммутативность
**Если матрица квадратная, то ЕА=АЕ, где Е – единичная матрица.**
* **Транспонирование – это замена ее столбцов ее строками, а строк – столбцами.**
### Гипербола, парабола, их основные характеристики. Поверхности 2-го порядка, классификация.
**Гипербола** – множество точек плоскости вида: $$(x/a)^2 – (y/b)^2 = 1$$\
**Основные характеристики:**\
1\. Симметрична относительно начала координат\
2\. Имеет две асимптоты: $$±bx/a$$\
3\. Симметричный относительно осей гиперболы прямоугольник со сторонами 2a и 2b и касающийся ее в вершинах называется основным прямоугольником кривой.
Гипербола с a=b называется равнобочной и ее ОПК – квадрат.
\
4\. Гиперболы называются сопряженными, если имеют общий центр и общие оси.\
$$((x/a)^2 – (y/b)^2 = 1$$ сопряжена с $$(x/a)^2 – (y/b)^2 = -1)$$\
5\. Уравнение касательной: $$(x*x\_0/a*a) – (y*y\_0/b*b) = 1$$\
6\. Уравнение нормали: $$y = y\_0 – (a*a*y\_0/b*b*x\_0)(x-x\_0)$$\
7\. Гипербола – коническое сечение.
Поверхности второго порядка – поверхности в трёхмерном пространстве вида
$$Ax2+By2+Cz2+2Fyz+2Gzx+2Hxy+2Px+2Qy+2Rz+D=0$$
\
**Классификация:**\
1\) **Эллипсоид:** $$(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1$$
\
**2) Мнимый эллипсоид:** $$(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = -1$$\
**3) Однополостный гиперболоид:** $$(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1$$
**4) Однополостный гиперболоид:** $$(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = -1$$
**5) Коническая поверхность:** $$(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 0$$\
**6) Мнимая коническая поверхность:** $$(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 0$$\
**7) Эллиптический параболоид:** $$(x/a)^2 + (y/b)^2 – z = 0$$
**8) Гиперболический параболоид:** $$(x/a)^2 - (y/b)^2 – z = 0$$
**9) Эллиптический цилиндр:** $$(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1$$
**10) Мнимый эллиптический цилиндр:** $$(x/a)^2 + (y/b)^2 = -1$$
**11) Гиперболический цилиндр:** $$(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1$$
**12) Пересекающиеся плоскости:** $$(x/a)^2 - (y/b)^2 = 0$$\
**13) Мнимые пересекающиеся плоскости:** $$(x/a)^2 + (y/b)^2 = 0$$\
**14) Параболический цилиндр:** $$(x/a)^2 – y = 0$$
\
**15) Параллельные плоскости:** $$(x/a)^2 = 1$$\
**16) Мнимые параллельные плоскости:** $$(x/a)^2 = 1$$\
**17) Совпадающие плоскости:** $$x^2 = 0$$\
**18) Сфера с центром в начале координат:** $$x^2+y^2+z^2=R^2$$
\
19**) Сфера с центром в точке** $$(а, b, c)$$ $$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$$
### **Практика. Задачи**
#### **1)Дано A(2 3 1), B(4 1 -2) C(6 3 7) D(-4 -3 7)**
**a) AB{-2 -2 -3} AC{4 0 6} AD{-6 -6 6}**\
**VтетABCD = (AB\*BC\*AD) = (-2\*6\*-6 + -6\*4\*-3 - -6\*6\*-2 - 6\*-2\*4)/6 = (72 + 72 – 72 + 48)/6 = 120/6 = 20**\
**SABC = |\[AB\*AC]| = sqrt(144 + 64) = 4sqrt(13)**\
**h = 6V/S = 30/sqrt(13)**
**b) \[AB\*AC] = -12i + 8k n{-12 0 8}**\
**-12x + 8z + d = 0 d = 16**\
**(ABC) = (-3x + 2z + 4 = 0 )**\
**h = |-3\*-4 + 2\*7 + 4|/sqrt(9+4) = |30|/sqrt(13)**\
\
**Ответ:** $$30/sqrt(13)$$\
\
**2)**
**Дано**: $$4x^2 + 8x – y^2 + 2y + 12 = 0$$
$$4(x^2 + 2x + 1) – (y^2 - 2y + 1) + 9= 0$$\
$$(y-1)^2/9 - 4(x+1)^2/9 = 1$$
$$a = 3;b = 1.5$$\
**Асимптоты: (x+1) = +-b(y-1)/a = +- (y-1)/2**\
**y = +-2(x+1)+1**\
**y1 = 2x+3 y2 = -2x-1 A(-1, 1) B1(0, 3) B2(0, -1)**\
**AB1{1 2} AB2{1 -2}**\
**(AB1\*AB2) = 1 – 4 = -3 = 5\*cosa sina = 0.8**
**Ответ:** $$arcsin(0.8)$$