Определителем матрицы А порядка n называется число -
где суммирование ведется по всем перестановкам из n чисел, а каждое слагаемое берется со знаком плюс или минус в зависимости от четности перестановки.
Если одна строка матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.
Если строку матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число.
Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель поменяет знак на противоположный.
Определитель матрицы с равными строками равен нулю.
Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю.
Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых
Определение. Вектором называется направленный отрезок.
Обозначение. У вектора точка A называется началом вектора, а точка B - конец вектора.
Определение. Если начальная и конечная точки вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается 0.
Определение. Два вектора называются равными, если они имеют общее направление и одинаковые длины.
Определение. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.
Определение. Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой), называются коллинеарными.
Определение. Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины, называются равными.
Определение. Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.
2. Задача
Из данного свойства вытекает, что все утверждения, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.
Определение. Модулем вектора называется его длина. Если вектор задан прямоугольными координатами a = (x,y,z), тогда:
Определение. Векторы называются противоположными.
Каждый вектор равен сумме произведений трех основных векторов на соответствующие координаты вектора :
Определение. Пусть даны две точки Тогда координаты вектора вычисляются по следующей формуле:
Расстояние между точками равно:
Скалярным произведением вектора на вектор называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Согласно определению: