Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Loading...
Теорема "О разложении по строке или столбцу". Сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю:
Если одна строка матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.
Если строку матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число.
Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель поменяет знак на противоположный.
Определитель матрицы с равными строками равен нулю.
Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю.
Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых
Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов (базисных векторов).
Теорема о разложении вектора по базису.
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что координаты единственным образом определяют вектор.
Минором элемента называется определитель (n − 1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством
Из данного свойства вытекает, что все утверждения, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.
Если — базис n-мерного линейного пространства V, то любой вектор 𝑣 ∈ V может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно.
Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом. Действительно, размерность пространства V равна n. Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора V, получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из n+1 векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.
Матрица – совокупность каких-то объектов, объединенных в группу вида:
Виды матриц:
Квадратная матрица – (n x n), где кол-во строк == кол-во столбцов
Диагональная матрица – Матрица, у которой элементы вне главной диагонали равны нулю.
Единичная матрица – Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице
Нулевая матрица – Все элементы равны нулю.
Векторная матрица – Состоит из одной строки или одного столбца.
Операции над матрицами
Свойства сложения:
A + B = B + C (коммутативность)
(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (ассоциативность)
Умножение на число
Свойства умножения на число:
λ · (μ · A) = (λ · μ) · A (ассоциативность)
λ · (A + B) = λ · A + λ · B (дистрибутивность относительно сложения матриц)
λ + μ) · A = λ · A + μ · A (дистрибутивность относительно сложения чисел)
Произведение (матрицу на матрицу)
Произведением A · B матриц A и B (размеров m × n и n × p соответственно) называется матрица C размера m × p, что
Свойства произведения матрицы на матрицу :
(A · B) · C = A · (B · C) (ассоциативность)
(A + B) · C = A · C + B · C (дистрибутивность)
A · (B + C) = A · B + A · C (дистрибутивность)
A · B ≠ B · A — отсутствует коммутативность
Если матрица квадратная, то ЕА=АЕ, где Е – единичная матрица.
Транспонирование – это замена ее столбцов ее строками, а строк – столбцами.
Общее уравнение прямой – Ax + By + C = 0
Неполные уравнения прямой - Уравнение прямой называют неполным если один из его коэффициентов равен нулю.
С = 0, A≠0, B≠0 – Прямая проходит через начало координат
A=0, B≠0, C≠0 – Прямая параллельна оси Ox
B=0, A≠0, C≠0 – Прямая параллельна оси Oy
B=C=0, A≠0 – Прямая совпадает с осью Oy
A=C=0, B≠0 – Прямая совпадает с осью Ox
Определителем матрицы А порядка n называется число -
где суммирование ведется по всем перестановкам из n чисел, а каждое слагаемое берется со знаком плюс или минус в зависимости от четности перестановки.
Если одна строка матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.
Если строку матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число.
Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель поменяет знак на противоположный.
Определитель матрицы с равными строками равен нулю.
Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю.
Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых
Определение. Вектором называется направленный отрезок.
Обозначение. У вектора точка A называется началом вектора, а точка B - конец вектора.
Определение. Если начальная и конечная точки вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается 0.
Определение. Два вектора называются равными, если они имеют общее направление и одинаковые длины.
Определение. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.
Определение. Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой), называются коллинеарными.
Определение. Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины, называются равными.
Определение. Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.
2. Задача
Сложение - Суммой матриц одинакового размера называется матрица того же размера элементы которой
Произведением матрицы на число λ называется матрица того же размера, что и матрица A с элементами
Таким образом, каждый элемент , находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы C, равен сумме произведений, соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. Произведение существует, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Параметрическое уравнение прямой -
Каноническое уравнение прямой
Из данного свойства вытекает, что все утверждения, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.
Определение. Модулем вектора называется его длина. Если вектор задан прямоугольными координатами a = (x,y,z), тогда:
Определение. Векторы называются противоположными.
Каждый вектор равен сумме произведений трех основных векторов на соответствующие координаты вектора :
Определение. Пусть даны две точки Тогда координаты вектора вычисляются по следующей формуле:
Расстояние между точками равно:
Скалярным произведением вектора на вектор называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Согласно определению:
Обратной матрицей к квадратной матрице называется такая матрица (обозначается ), что . Если обратная матрица существует, то она единственная. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда матрица — невырожденная, то есть .
Присоединенной матрицей к квадратной матрице называется матрица , полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений к элементам , где .
Обратную матрицу можно искать двумя путями:
Метод присоединённой матрицы заключается в применении формулы:
Метод элементарных преобразований состоит в следующем. Приписывая справа к матрице размера единичную матрицу такого же размера, получим прямоугольную матрицу размера . С помощью элементарных преобразований над строками матрицы B приводим ее к виду .
Чтобы проверить обратную матрицу, умножьте её на исходную. Если получилась единичная матрица, то всё хорошо.
Уравнения, подходящие под формулы слева, решаются соответствующими формулами справа. Для решения матрицы должны быть невырождены.
Уравнение прямой, проходящей через две точки и , выглядит так:
Общее уравнение прямой выглядит так:
Задача.
Дано:
Тетраэдр — пирамида, направляемая векторами . Найдём их координаты, вычтя из координат точек конца координаты точек начала:
Известно, что
Подставляем, считаем:
Итоговые координаты вершины: .
2. Задача.
Получаем два числа:
Похоже, что они неправильные.
Методы решения систем линейных уравнений с определителем, отличным от нуля.
Если Δ ≠ 0, то система (28) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам:
где ∆i – определитель, полученный из ∆ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Ранг матрицы обозначается rang(A) или через r(A).
Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы A, порядок которого равен r(A).
Методы нахождения ранга матрицы:
1. Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A состоит в следующем. Необходимо:
1) Найти какой-нибудь минор первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица A нулевая и r(A) = 0.
2) Вычислить миноры второго порядка, содержащие (окаймляющие ) до тех пор, пока не найдется минор , отличный от нуля. Если такого минора нет, то r(A) = 1, если есть, то r(A) ≥ 2. И т.д.
k) Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор . Если таких миноров нет, или они все равны нулю, то r(A) = k − 1; если есть хотя бы один такой минор , то r(A) ≥ k, и процесс продолжается.
При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его нужно только среди миноров, содержащих минор
Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу A приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками. Количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы A. (Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.)
Основные свойства смешанного произведения векторов:
1. Имеют место равенства:
2. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный:
3. Свойство распределительности:
4. Свойство сочетательности:
5. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю, например
Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей (формула смешанных векторов)
Компланарность векторов
Геометрические свойства смешанного произведения
где знак плюс выбирается, если определитель третьего порядка равен положительному значению, и знак минус – в противоположном случае.
где знак плюс выбирается, если определитель третьего порядка равен положительному значению, и знак минус – в противоположном случае.
Определение. Смешанным произведением векторов , называется число , равное скалярному произведению вектора на вектор то есть
Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:
Определение и условие. Векторы лежат водной плоскости, то есть компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, то есть
1. Объем параллелепипеда, построенного на вектора (рис. 23), определяется по формуле:
2. Объем пирамиды, построенной на вектора , определяется по формуле:
Пусть дан параллеллипипед, построенный на векторах (рис 23) Высоту параллелипипеда, которая проведена к нижнему основанию, образованному векторами можно найти по формуле:
Пусть дана пирамида, построенная на векторах (рис 24). Высоту пирамиды, которая проведена к основанию, образованному векторами можно найти по формуле:
Матрица – совокупность каких-то объектов, объединенных в группу вида:
Виды матриц:
Квадратная матрица – (n x n), где кол-во строк == кол-во столбцов
Диагональная матрица – Матрица, у которой элементы вне главной диагонали равны нулю.
Единичная матрица – Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице
Нулевая матрица – Все элементы равны нулю.
Векторная матрица – Состоит из одной строки или одного столбца.
Операции над матрицами
Свойства сложения:
A + B = B + C (коммутативность)
(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (ассоциативность)
Умножение на число
Свойства умножения на число:
λ · (μ · A) = (λ · μ) · A (ассоциативность)
λ · (A + B) = λ · A + λ · B (дистрибутивность относительно сложения матриц)
λ + μ) · A = λ · A + μ · A (дистрибутивность относительно сложения чисел)
Произведение (матрицу на матрицу)
Произведением A · B матриц A и B (размеров m × n и n × p соответственно) называется матрица C размера m × p, что
Свойства произведения матрицы на матрицу :
(A · B) · C = A · (B · C) (ассоциативность)
(A + B) · C = A · C + B · C (дистрибутивность)
A · (B + C) = A · B + A · C (дистрибутивность)
A · B ≠ B · A — отсутствует коммутативность
Если матрица квадратная, то ЕА=АЕ, где Е – единичная матрица.
Транспонирование – это замена ее столбцов ее строками, а строк – столбцами.
Гипербола – множество точек плоскости вида: Основные характеристики: 1. Симметрична относительно начала координат 2. Имеет две асимптоты: 3. Симметричный относительно осей гиперболы прямоугольник со сторонами 2a и 2b и касающийся ее в вершинах называется основным прямоугольником кривой.
Гипербола с a=b называется равнобочной и ее ОПК – квадрат.
4. Гиперболы называются сопряженными, если имеют общий центр и общие оси. сопряжена с 5. Уравнение касательной: 6. Уравнение нормали: 7. Гипербола – коническое сечение.
Поверхности второго порядка – поверхности в трёхмерном пространстве вида
Классификация: 1) Эллипсоид:
2) Мнимый эллипсоид: 3) Однополостный гиперболоид:
4) Однополостный гиперболоид:
5) Коническая поверхность:
6) Мнимая коническая поверхность: 7) Эллиптический параболоид:
8) Гиперболический параболоид:
9) Эллиптический цилиндр:
10) Мнимый эллиптический цилиндр:
11) Гиперболический цилиндр:
12) Пересекающиеся плоскости: 13) Мнимые пересекающиеся плоскости: 14) Параболический цилиндр:
15) Параллельные плоскости: 16) Мнимые параллельные плоскости: 17) Совпадающие плоскости: 18) Сфера с центром в начале координат:
19) Сфера с центром в точке
a) AB{-2 -2 -3} AC{4 0 6} AD{-6 -6 6} VтетABCD = (AB*BC*AD) = (-2*6*-6 + -6*4*-3 - -6*6*-2 - 6*-2*4)/6 = (72 + 72 – 72 + 48)/6 = 120/6 = 20 SABC = |[AB*AC]| = sqrt(144 + 64) = 4sqrt(13) h = 6V/S = 30/sqrt(13)
b) [AB*AC] = -12i + 8k n{-12 0 8} -12x + 8z + d = 0 d = 16 (ABC) = (-3x + 2z + 4 = 0 ) h = |-3*-4 + 2*7 + 4|/sqrt(9+4) = |30|/sqrt(13) Ответ: 2)
Дано:
Асимптоты: (x+1) = +-b(y-1)/a = +- (y-1)/2 y = +-2(x+1)+1 y1 = 2x+3 y2 = -2x-1 A(-1, 1) B1(0, 3) B2(0, -1) AB1{1 2} AB2{1 -2} (AB1*AB2) = 1 – 4 = -3 = 5*cosa sina = 0.8
Ответ:
Методы решения систем линейных уравнений с определителем, отличным от нуля.
Если Δ ≠ 0, то система (28) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам:
где ∆i – определитель, полученный из ∆ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Линией второго порядка называется множество М точек плоскости, декартовы координаты Х, У которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2 степени (общему уравнению линии 2го порядка):
, где все а — постоянные действительные числа.
1) Эллипс
2) Гипербола
3) Парабола
4) Линейный эллипс
5) Вырожденный эллипс
6) Пара пересекающихся прямых
7) Пара параллельных прямых
8) Пара совпадающих прямых
9) Пара мнимых прямых(пустое множество)
Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1,F2 (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.
Свойства эллипса:
1. точки с корд. (а;0), (-а;0), (0;b), (0;-b) называются его вершинами
2. переменные х и у входят в уравнение в четных степенях т.е. 0х и 0у – оси симметрии
3. начало координат – центр симметрии
4. эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2а*2b т.е.эллипс – это ограниченная кривая
Свойства определителей:
Свойство 1. При перемене местами двух соседних строк (или столбцов) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина не изменяется.
Свойство 2. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
Свойство 3. Умножение всех элементов некоторой строки (или столбца) определителя на число λ, равносильно умножению определителя на это число, то есть постоянный множитель можно выносить за знак определителя из любой строки или из любого столбца.
Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Свойство 5. Если элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Свойство 6. Если к элементам некоторой строки (или столбца) определителя прибавить соответственно элементы другой строки (или столбца), умноженные на действительное число λ, то величина определителя не изменится.
Свойство 7. Значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами, и наоборот.
Свойство 8. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых.
Разложение определителя: Сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю:
Равенства (21) можно принять за правила вычисления определителей. Первое из них называется разложением ∆n по элементам i-ой строки, а второе — разложением ∆n по элементам j-го столбца.
В соответствии со свойством 9, вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n − 1)-го порядка. Этот метод понижения порядка не эффективен. Используя основные свойства определителей, вычисление ∆n ≠ 0 всегда можно свести к вычислению одного определителя (n − 1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду ∆n все элементы, кроме одного, равными нулю.
Уравнение плоскости в отрезках: если известны абсцисса a, ордината b и аппликата c точек пересечения плоскости с координатными осями OX, OY и OZ соответственно, то можно составить уравнение плоскости в отрезках:
Из общего уравнения плоскости Ax+By+Cz+D = 0 можно получить уравнение плоскости в отрезках. Для этого надо перенести коэффициент D в правую часть и разделить обе части полученного уравнения на −D.
После вычисления определителя это уравнение становится общим уравнением плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку при двух заданных направляющих векторах: простите, я не нашла ничего ни в учебнике, ни в гугле :(
Задача.
2. Задача
Смешанное произведение трех векторов – сочетание векторного и скалярного произведений (A * B) * C.
Свойства смешанного произведения:
;
Если , и компланарны, то их смешанное произведение = 0.
Вывод: объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:
Прямая в пространстве определяется как линия пересечения двух непараллельных плоскостей.
Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д.
Также можно воспользоваться формулой: () =x1x2+y1y2+z1z2:
Короче говоря, геометрический смысл векторного произведения заключается в том, что длина(модуль) векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах.
Задача
2. Задача
Произведение двух векторов это число, равное произведению длин векторов (их модулей) на косинус угла между ними.
Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:
где a, b и c это действительные числа, отличные от нуля. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые отсекаются плоскостью на осях координат Oх,Oу и Oz в трехмерной системе координат Oхуz. Откладываются длины отрезков от начала координат. Направление, в котором необходимо отложить длину отрезка, определяет знак, стоящий перед числом. Наличие «-» свидетельствует о том, что отрезок надо откладывать от нуля в отрицательном направлении оси.
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях. Другими словами, в плоскости α мы провели прямую а, перпендикулярную с. В плоскости β — прямую b, также перпендикулярную с. Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b.
Две пересекающиеся плоскости. Две плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.
Две параллельные плоскости.
Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.
Признаки параллельности плоскостей:
1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Признаки перпендикулярности прямой и плоскости:
1) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
2) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Решением системы линейных уравнений называется такой набор чисел, что при подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы обращается в тождество.
Базисными называются переменные, зависящие от свободных.
Метод Жордано-Гаусса — способ решения систем линейных алгебраических уравнений, путём последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.
Уравнение поверхности называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной поверхности и не удовлетворят координаты любой другой точки.
Уравнение линии в пространстве можно рассмотреть в виде пересечения двух плоскостей l:\begin{equation*} \begin{cases} F_1(x_1, y_1, z_1), \\ F_2(x_2, y_2, z_2) \end{cases} \end{equation*}
Общее уравнение плоскости в пространстве: , где — нормальный вектор плоскости . Коэффициент связан с расстоянием от плоскости до начала координат.
Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.
Вектор нормали — любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.
Неполные уравнения плоскости:
— плоскость проходит через начало координат.
— плоскость параллельна OZ.
- плоскость параллельна OY
- плоскость параллельна OX
- плоскость содержит ось OZ
- плоскость содержит ось OY
- плоскость содержит ось OX
- плоскость параллельна плоскости XOY
- плоскость параллельна плоскости XOZ
- плоскость параллельна плоскости ZOY
- плоскость ZOY
- плоскость XOZ
- плоскость XOY
Задача
направление вектора c перпендикулярно к плоскости упомянутого параллелограмма.
Два вектора - равные, если они имеют общее направление и одинаковые длины.
Линейные операции над векторами:
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉
𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 ∀𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
𝑣 + 𝑜 = 𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ;
𝑣 + (−𝑣) = 𝑜;
𝜆(𝑢 + 𝑣) = 𝜆𝑢 + 𝜆𝑣 ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆 ∈ R;
(𝜆 + 𝜇)𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝜇𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆, 𝜇 ∈ R;
𝜆(𝜇𝑣) = (𝜆𝜇)𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆, 𝜇 ∈ R;
1 · 𝑣 = 𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉 .
Рангом матрицы называется число равное числу векторов в МЛНП составленной из строк матрицы.
Ранг любой матрицы равен ее строчному рангу и ее столбцовому рангу. Доказательство. Если строчный ранг A равен r, то в A найдется линейно независимая система из r строк, а значит, и невырожденная подматрица порядка r. Если при этом есть p>r различных строк A, то они линейно зависимы, и любая подматрица порядка p в них вырождена. Столбцовый ранг равен строчному рангу , значит, и 𝐴𝑇 рангу 𝐴𝑇 , а потому — рангу A.
Базисный минор
Определение:
Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие базисный минор, называются базисными строками и столбцами.
Теорема о базисном миноре:
Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из базисного минора.
Доказательство.
Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы
(o - нулевой столбец соответствующих размеров)
Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.
«Для линейной зависимости множества строк квадратной матрицы необходимо и достаточно обращение в нуль ее определителя.»
Доказательство:
Необходимость. Допустим, что det A ≠ 0, где
Которая имеет единственное нулевое решение, ибо det AT = det A ≠ 0. Иными словами, если det A ≠ 0, то строки А линейно независимы, т.к. для линейной зависимости необходимо, что бы det A = 0.
По свойству определителей:
чтд.
Прямая на плоскости.
Прямая на плоскости определяется какой-либо своей точкой Р и направляющим вектором a параллельным этой прямой.
Различные виды уравнения прямой:
Общее уравнение прямой – АХ + BY + C = 0. Геометр. смысл этого уравнения: уравнение любой прямой является линейно-зависимо относительно входящих в него переменных.
Уравнение прямой в отрезках – 𝑥/𝑎 + 𝑦/𝑏 = 1, где 𝑎 = − 𝐶/𝐴 , 𝑏 = − 𝐶/𝐵 — отрезки, которые прямая отсекает на координатных осях.
Полярная система координат
Для описания положения точки плоскости x0y можно использовать полярные координаты r и φ, где r – расстояние от точки до начала координат, называемого полюсом. Полярные координаты (𝑟, φ ) точки связаны с ее декартовыми прямоугольными координатами (x, y) простыми соотношениями:
Линия первого порядка
К линиям первого порядка относятся те линии, для которых задающее их уравнение содержит переменные x и у только в первой степени. Иными словами, такие линии описываются уравнениями вида Ax + By + C = 0, где А, В и С — постоянные числа. Из этого уравнения можно выразить переменную Y как функцию от аргумента Х. При В ≠ 0: y = kx + b.
Понятия направляющего вектора прямой и вектора нормали.
Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.
Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.
Определение нормального вектора прямой и определение направляющего вектора прямой позволяют заключить, что любой нормальный вектор данной прямой перпендикулярен любому направляющему вектору этой прямой.
Определитель — это число, которое считается по определённым правилам и является одной из характеристик заданной матрицы.
Эта формула называется разложением по строке/столбцу.
Опр. Определителем третьего порядка называется выражение вида:
Отметим несколько правил для построения выражения.
1. Правило треугольников.
Выделим в этом определителе главную диагональ, образованную числами a11, a22, a33 и диагональ, образованную числами a31, a22, a13, которую будем называть побочной. Вычисляем произведение элементов, стоящих на главной диагонали и два произведения чисел, расположенных в вершинах двух равносторонних треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Складываем эти три произведения. Из полученной суммы вычитаем сумму произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и двух произведений чисел, расположенных в вершинах двух равносторонних треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали. На рисунке 1 это правило изображено схематически:
2. Правило Саррюса.
Припишем к матрице справа первый и второй столбцы и вычислим произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых (смотри рисунок 2). Затем найдем сумму этих произведений, при этом произведения элементов на прямых, параллельных главной диагонали, возьмем со знаком плюс, а произведения элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, – со знаком минус (согласно обозначениям на рисунке 2)
Рассмотрим свойства определителей.
Свойство 1. При перемене местами двух соседних строк (или столбцов) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина не изменяется.
Свойство 2. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
Свойство 3. Умножение всех элементов некоторой строки (или столбца) определителя на число λ, равносильно умножению определителя на это число, то есть постоянный множитель можно выносить за знак определителя из любой строки или из любого столбца.
Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Свойство 5. Если элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Свойство 6. Если к элементам некоторой строки (или столбца) определителя прибавить соответственно элементы другой строки (или столбца), умноженные на действительное число λ, то величина определителя не изменится.
Свойство 7. Значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами, и наоборот.
Свойство 8. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых, например:
Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Основные понятия, формулы и теоремы
Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, выполняются следующие операции:
2) Операции сложения и вычитания выполняются по формулам:
3) Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, производится следующим образом:
5) Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, выполняется по следующему правилу:
2) Задача
Теорема Кронекера — Капелли: Система имеет решение (т.е система совместима), если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы (т.е. матрица с ответами).
Алгоритм решения:
Привести к ступенчатому виду
Найти ранг получившейся матрицы
Выбрать базисный минор, найти главные и свободные неизвестные
Перенести свободные за знак =
Решить систему относительно главных неизвестных (выражаем главные через свободные (можно подставить любые))
Переход от общего уравнения прямой к уравнению в отрезках:
Обратно действуем аналогично.
в противном случае система векторов называется линейно независимой.
Из определения следует, что система состоящая из единственного вектора, будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Система векторов, содержащая более одного вектора, будет линейно зависимой, когда какой-то вектор системы есть линейная комбинация остальных векторов.
Любая система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, сама будет линейно зависимой.
Метод исключения неизвестных (метод Гаусса).
Рассмотрим метод решения систем линейных уравнений с произвольной матрицей, который называется методом последовательного исключения неизвестных.
Определение 33. Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных называется равносильными, если множества всех решений этих систем совпадают.
Теорема 12. При элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы, система переходит в равносильную систему. На основании этой теоремы запишем расширенную матрицу системы A¯. Элементарными преобразованиями над строками матрицы, приведем ее к ступенчатому виду (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Эти действия называются прямым ходом метода Гаусса. После чего из системы, составленной на основе полученной матрицы, находим переменные с помощью последовательных подстановок (обратный ход метода Гаусса).
Если r(A) = r(A) = n, то система совместна и имеет единственное решение, которое можно найти, применяя обратный ход метода Гаусса. Если r(A) = r(A) < n, то система имеет более одного решения.
Короче говоря, метод Гаусса заключается в том, чтобы все уравнения системы представить в виде расширенной матрицы, а потом все элементы матрицы ниже главной диагонали привести к нулю элементарными преобразованиями (сделать матрицу ступенчатой). А после этого вернуться от матрицы к системе уравнений, имея одно уравнение с известной переменной (z = 3, к примеру). Имея такую систему остается просто подставлять известные переменный в вышестоящие уравнения и, как итог, найти все неизвестные.
Начинать приводить матрицу к ступенчатому виду стоит с левого столбца, идя вправо.
2) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули.
3) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля.
Пример решения СЛАУ методом Гаусса:
Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью
Модуль комплексного числа.
Модуль комплексного числа вычисляется по формуле:
Аргумент комплексного числа.
1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку
перпендикулярно прямой и пересекающей эту
прямую. Найти расстояние от точки до искомой прямой.
2. Решить систему по правилу Крамера
Матрица – совокупность каких-то объектов, объединенных в группу вида:
Виды матриц:
Квадратная матрица – (n x n), где кол-во строк == кол-во столбцов
Диагональная матрица – Матрица, у которой элементы вне главной диагонали равны нулю.
Единичная матрица – Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице
Нулевая матрица – Все элементы равны нулю.
Векторная матрица – Состоит из одной строки или одного столбца.
Операции над матрицами
Свойства сложения:
A + B = B + C (коммутативность)
(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (ассоциативность)
Умножение на число
Свойства умножения на число:
λ · (μ · A) = (λ · μ) · A (ассоциативность)
λ · (A + B) = λ · A + λ · B (дистрибутивность относительно сложения матриц)
λ + μ) · A = λ · A + μ · A (дистрибутивность относительно сложения чисел)
Произведение (матрицу на матрицу)
Произведением A · B матриц A и B (размеров m × n и n × p соответственно) называется матрица C размера m × p, что
Свойства произведения матрицы на матрицу :
(A · B) · C = A · (B · C) (ассоциативность)
(A + B) · C = A · C + B · C (дистрибутивность)
A · (B + C) = A · B + A · C (дистрибутивность)
A · B ≠ B · A — отсутствует коммутативность
Если матрица квадратная, то ЕА=АЕ, где Е – единичная матрица.
Транспонирование – это замена ее столбцов ее строками, а строк – столбцами.
Векторы a = (x1, y1, z1) и b = (x2, y2, z2) называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы a = (x1, y1, z1) и ~b = (x2, y2, z2) коллинеарны тогда и только тогда, когда
Таким образом, если вектор a – не нулевой, то любой вектор b, коллинеарный с ним, можно представить в виде b = λ · a. Два ненулевых вектора a = (x1, y1, z1) и b = (x2, y2, z2) перпендикулярны, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть
Векторы a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) и c = (x3, y3, z3) лежат в одной плоскости, то есть компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, то есть
Задача
2. Задача
Действия(операции) над комплексными числами:
1) (𝑎 + 𝑖𝑏) + (𝑐 + 𝑖𝑑) = (𝑎 + 𝑐) + 𝑖(𝑏 + 𝑑) - сложение
2) (𝑎 + 𝑖𝑏) − (𝑐 + 𝑖𝑑) = (𝑎 − 𝑐) + 𝑖(𝑏 − 𝑑) - вычитание
3) (𝑎 + 𝑖𝑏) * (𝑐 + 𝑖𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑐𝑏𝑖 − 𝑏𝑑 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑐𝑏) - умножение
Решение системы - набор чисел, что при их подстановке в систему вместо неихвестных X каждое уравнение системы обращалось в тождество.
Пусть дана система линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей:
где |A| ≠ 0. Система (30) имеет единственное решение, которое можно найти по формуле:
где adj(A) — присоединенная матрица(матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы.
(1/n - корень степени n)
Сложение - Суммой матриц одинакового размера называется матрица того же размера элементы которой
Произведением матрицы на число λ называется матрица того же размера, что и матрица A с элементами
Таким образом, каждый элемент , находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы C, равен сумме произведений, соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. Произведение существует, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Минором элемента называется определитель (n − 1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством
Уравнение плоскости, проходящей через три точки: Пусть даны три различные точки не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости M(x; y; z) лежит в одной плоскости с точками M0, M1 и M2 тогда и только тогда, когда векторы
коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости M(x; y; z) лежит в одной плоскости с точками, и тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.
Геометрический смысл смешанного произведения векторов: если три вектора правые, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на них .
В случае левой тройки , смешанное произведение указанных векторов равно объему
параллелепипеда со знаком “–“: .
Формула Эйлора, выражает показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции, таким образом, выражение, может быть записана в виде .
Так, например, мнимой единице соответствует аргумент и модуль 1, поэтому запись в тригонометрической и показательной формах такова:
Векторным произведением [, ] векторов и называется третий вектор , который строится следующим образом: (, )
1) модуль вектора численно равен площади параллелограмма (рисунок 21), построенного на векторах и , то есть:
2) направление вектора перпендикулярно к плоскости упомянутого параллелограмма.
3) направление вектора выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы , и составляли правую систему.
1) [, ] = 0;
2) [, ] = −[, ];
3)[, ]= [, ] = λ[, ], где λ − это число;
4)[ + ,] = [,] + [, ];
Скалярным произведением вектора на вектор называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается (, ).
(, ) = || · || · cos(a, b)
Векторным произведением [, ] векторов и называется третий вектор который строится следующим образом:
модуль вектора численно равен: | = || · || · sin(a, b)
направление вектора выбирается так, чтобы векторы , и составляли правую систему.
Модулем или длиной вектора || называется длина отрезка:
Пусть φ – угол между вектором и осью l Тогда проекция на I равна pr( , ) = || · cos φ.
Прямоугольными координатами вектора называются проекции вектора на оси координат.
При нахождении суммы векторов + по правилу треугольника от конечной точки вектора откладывают вектор . Тогда вектор + направлен от начальной точки вектора к конечной точке вектора .
Произведением вектора на число λ называется новый вектор , длина которого равна |λ| · ||, а направление совпадает с направлением вектора , если λ > 0 и противоположно ему при λ < 0.
Предположим противное - система длинных столбцов линейно зависима, следовательно система коротких столбцов (входящих в длинные) линейно зависима (), следовательно о свойству определителя А (1 2 … r) = базисный минор = 0. Противоречие, т.к. базисный минор не равен 0.
Система из n столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа не все равные нулю одновременно, что
.
Система из n столбцов называется линейно не зависимой когда линейная комбинация в левой части тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).
Равенство , где – строки А, равносильно системе линейных уравнений
Достаточность. Доказательство достаточности проведем методом мат. индукции по порядку матрицы А. Для m = 1 утверждение теоремы очевидно, ибо равенство det A = 0 означает, что А состоит из нулевого элемента. Пусть для матрицы порядок m – 1 теорема доказана, и в этом предположении докажем ее для матриц порядка m. Без нарушения общности можно считать . Обозначим через строки матрицы А и введем в рассмотрение строки:
Далее, det A = 0, , следовательно,
ПО индуктивному предположению, строки линейно зависимы, а тогда линейно зависимы и строки , с теми же коэффициентами. Итак, существует не равные одновременно нулю коэффициенты такие, что , и тогда
Уравнение прямой с угловым коэффициентом - Если 𝐵 ≠ 0, то из общего уравнения прямой можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏, где коэффициент 𝑘 = − 𝑏/𝑎 = − 𝐴/𝐵 называется угловым коэффициентом. Он равен тангенсу угла наклона прямой к оси 𝑂𝑥: 𝑘 = tg𝜑. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 𝑘, проходящей через точку (𝑥0, 𝑦0 ): 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки - Возьмем произвольную точку на прямой
Векторное уравнение прямой - Пусть 𝑝 = {𝑚, 𝑛} — направляющий вектор прямой 𝑙. Произвольная точка 𝑀 принадлежит прямой 𝑙 тогда и только тогда, когда 𝑀0 𝑀 ∥ 𝑝 . Это эквивалентно тому, что . Поскольку , где 𝑟 — радиус-вектор точки 𝑀, 𝑟 — радиус-вектор точки , то получаем параметрическое уравнение прямой 𝑙 в векторном виде:
Из определения направляющего вектора прямой следует, что существует бесконечно много направляющих векторов заданной прямой. Более того все направляющие векторы прямой лежат либо на этой прямой, либо на прямой ей параллельной, то есть, все направляющие векторы заданной прямой коллинеарны. Таким образом, если a - направляющий вектор прямой a, любой из векторов при некотором ненулевом действительном значении t также является направляющим вектором прямой a.
Из определения направляющего вектора прямой также следует, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Другими словами, если прямые a и параллельны и вектор a - направляющий вектор прямой a, то вектор а также является направляющим вектором прямой .
Так как прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой, то можно утверждать, что множества нормальных векторов параллельных прямых совпадают. То есть, если прямые a и a1 параллельны и n - нормальный вектор прямой a, то n также является нормальным вектором прямой .
Опр. Выражение называется определителем матрицы второго порядка (или определителем второго порядка) и обозначается: |A|, det(A), ∆A, ∆.
Определение 1. Число называют мнимой единицей и для его обозначения используют букву i, т.е. .
Определение 2. Запись комплексного числа z в виде называется алгебраической формой записи комплексных чисел. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается , действительное число b называют мнимой частью комплексного числа (обозначается ).
1) Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда , то есть когда равны соответственно действительные и мнимые части комплексных чисел.
Замечание 1. Операции сравнения для комплексных чисел не определены. Поэтому понятий "больше" и "меньше" для комплексных чисел не существует. Записи лишены всякого смысла.
,
.
4) Комплексные числа и , то есть числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.
Число, сопряженное к z обозначается z¯. Сумма — всегда действительное число, а произведение — неотрицательное число.
Если (где — количество переменных), то решение единственно, если — решений несколько, количество неизвестных:
Найти количество неизвестных, вычев полученный ранг из количества переменных
— главные
— свободные
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова систему координат .Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат имеет вид , где и - некоторые отличные от нуля действительные числа.
Уравнение прямой в отрезках не случайно получило такое название - абсолютные величины чисел a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях и , считая от начала координат.
Мы знаем, что координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению этой прямой. Тогда отчетливо видно, что прямая, заданная уравнением прямой в отрезках, проходит через точки и , так как и .
А точки и как раз расположены на координатных осях и соответственно и удаленны от начала координат на и единиц. Знаки чисел и указывают направление, в котором следует откладывать отрезки. Знак означает, что отрезок откладывается в положительном направлении координатной оси, знак означает обратное.
Изобразим схематический чертеж, поясняющий все вышесказанное. На нем показано расположение прямых относительно фиксированной прямоугольной системы координат в зависимости от значений чисел и в уравнении прямой в отрезках.
Теперь стало понятно, что уравнение прямой в отрезках позволяет легко производить построение этой прямой линии в прямоугольной системе координат . Чтобы построить прямую линию, которая задана уравнением прямой в отрезках вида , следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки и , после чего соединить их прямой линией с помощью линейки.
Пусть нам известно полное общее уравнение прямой на плоскости . Так как не равны , то можно перенести число в правую часть равенства, разделить обе части полученного равенства на , а коэффициенты при и отправить в знаменатели:
Так мы от общего уравнения прямой перешли к уравнению прямой в отрезках , где
Система векторов линейного пространства называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел , обладающих свойством
Таким образом, если система векторов линейно независима и то все коэффициенты должны быть нулевыми.
Основная Теорема о линейной зависимости – Пусть даны две системы векторов и . Первая система векторов является линейно независимой, и каждый вектор первой системы есть линейная комбинация векторов второй системы, тогда m ≤ n.
1) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу .
В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .
линейно независимые => они могут примены в качестве базиса.
Сложение - Суммой матриц одинакового размера называется матрица того же размера элементы которой
Произведением матрицы на число λ называется матрица того же размера, что и матрица A с элементами
Таким образом, каждый элемент , находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы C, равен сумме произведений, соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. Произведение существует, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется такая матрица , что 𝐴 = 𝐴 = 𝐸. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда . Если обратная матрица существует, то она единственная.
Обратную матрицу к матрице A можно найти по формуле:
- определитель матрицы А.
— транспонированная матрица алгебраических дополнений к матрице A.
Число называют мнимой единицей и для его обозначения используют букву i,
т. е. .
Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексных чисел. Действительное число называется действительной частью комплексного числа и обозначается , действительное число называют мнимой частью комплексного числа (обозначается ).
4) - деление
5) Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда , то есть, когда равны соответственно действительные и мнимые части комплексных чисел.
6) Комплексные числа и , то есть числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными. Число, сопряженное к z обозначается .
7) Сумма z+ = a + bi + abi = 2a - всегда действительное число, а произведение
z * = (a + bi) * (abi) = - неотрицательное число
Чтобы возвести комплексное число в степень, нужно представить его в тригонометрическом виде , где , а φ - аргумент z. По формуле Муавра: , где r возводится в степень, а аргумент φ умножается на показатель степени.
Извлечение корня также требует тригонометрической формы записи комплексного числа. Также по формуле Муавра для извлечения корня: Число z порядка k=(0, 1, ..., n-1) называется корнем n степени комплексного числа z, если при возведении этого числа в степень n получится число z.
Плоскость в декартовой системе координат OXYZ может быть задана уравнением вида:
определяет ту же плоскость, то есть общее уравнение плоскости не единственно.
Из этой формулы находим:
Действия над числами в тригонометрической форме:
1) Два числа равны тогда и только тогда, когда:
2) Умножение:
3) Деление:
4) Возведение в степень:
Два вектора называются равными, если они имеют общее направление и одинаковые длины.
Существует два правила геометрического сложения векторов:
Если эта система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Если система имеет более одного решения, то любое решение этой системы называется частным решением.
Пусть A – матрица системы. Тогда расширенная матрица системы имеет вид A = (A|B) =
которое называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты (A;B;C) задают нормальный вектор плоскости , то есть вектор, перпендикулярный этой плоскости.
Коэффициент связан с расстоянием от плоскости до начала координат формулой
При любом уравнение
Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором . Величина угла положительная - отчет ведется против часовой стрелки; отрицательная - по часовой стрелке.
Аргумент комплексного угла неоднозначен. Любые два аргумента комплексного числа отличаются на число, кратное Для обозначения всех аргументов комплексного числа используется обозначение . Через φ обозначают главное значение аргумента в промежутке . Аргумент комплексного числа не определен.
Аргумент комплексного числа можно найти по формулам:
Аргумент комплексного числа можно так же найти из следующего уравнения:
Каждое комплексное число , отличное от нуля, может быть записано в виде
где r – модуль числа, – любой из его аргументов. Эта форма записи называется тригонометрической.
5) – корень из числа z, если Если z ≠ 0, то существует n корней из числа z, полученных из формулы:
Величины, которые полностью определяются заданием своих числовых значений, называются скалярными величинами (масса, длина, площадь). Величины, для задания которых необходимо знать еще и направление, называются векторными величинами (сила, скорость, ускорение). Вектором называется направленный отрезок: A – начальная точка, B – конечная точка.
Векторы и называются противоположными.
Если начальная и конечная точки вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается .
Длина вектора – это неотрицательное число, равное длине отрезка AB.
1. При нахождении суммы векторов + по правилу треугольника от конечной точки вектора откладывают вектор . Тогда вектор + направлен от начальной точки вектора к конечной точке вектора .
2. При нахождении суммы векторов + по правилу параллелограмма нужно отложить векторы и от одной точки и построить на векторах и параллелограмм. Тогда вектор-диагональ параллелограмма, выходящий из общей начальной точки векторов и есть вектор суммы + .
Произведением вектора на число λ называется новый вектор λ , длина которого равна |λ| · ||, а направление совпадает с направлением вектора , если λ > 0 и противоположно ему при λ < 0.
Каждый вектор равен сумме произведений трех основных векторов на соответствующие координаты вектора : = (x, y, z) = i + j + k.
Пусть даны две точки и . Тогда координаты вектора вычисляются по следующей формуле: .
Модулем или длиной вектора || называется длина отрезка, изображающего вектор. Если вектор задан прямоугольными координатами = (x, y, z), тогда || = .
Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными
Теорема о совместности (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы A равен рангу расширенной матрицы системы : r(A) = r(). Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определена она или нет. При этом возможны три варианта:
1) Если r(A) < r() (то есть ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы системы), то система несовместна.
2) Если r(A) = r() = n (где n – число неизвестных), то система совместна и имеет единственное решение, то есть определена.
3) Если r(A) = r() < n, то система совместна и имеет более одного решения, то есть не определена.