направление вектора c перпендикулярно к плоскости упомянутого параллелограмма.
Два вектора - равные, если они имеют общее направление и одинаковые длины.
Линейные операции над векторами:
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉
𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 ∀𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
𝑣 + 𝑜 = 𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ;
𝑣 + (−𝑣) = 𝑜;
𝜆(𝑢 + 𝑣) = 𝜆𝑢 + 𝜆𝑣 ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆 ∈ R;
(𝜆 + 𝜇)𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝜇𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆, 𝜇 ∈ R;
𝜆(𝜇𝑣) = (𝜆𝜇)𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆, 𝜇 ∈ R;
1 · 𝑣 = 𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉 .
Рангом матрицы называется число равное числу векторов в МЛНП составленной из строк матрицы.
Ранг любой матрицы равен ее строчному рангу и ее столбцовому рангу. Доказательство. Если строчный ранг A равен r, то в A найдется линейно независимая система из r строк, а значит, и невырожденная подматрица порядка r. Если при этом есть p>r различных строк A, то они линейно зависимы, и любая подматрица порядка p в них вырождена. Столбцовый ранг равен строчному рангу , значит, и 𝐴𝑇 рангу 𝐴𝑇 , а потому — рангу A.
Скалярным произведением вектора на вектор называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается (, ).
(, ) = || · || · cos(a, b)
Векторным произведением [, ] векторов и называется третий вектор который строится следующим образом:
модуль вектора численно равен: | = || · || · sin(a, b)
направление вектора выбирается так, чтобы векторы , и составляли правую систему.
Модулем или длиной вектора || называется длина отрезка:
Пусть φ – угол между вектором и осью l Тогда проекция на I равна pr( , ) = || · cos φ.
Прямоугольными координатами вектора называются проекции вектора на оси координат.
При нахождении суммы векторов + по правилу треугольника от конечной точки вектора откладывают вектор . Тогда вектор + направлен от начальной точки вектора к конечной точке вектора .
Произведением вектора на число λ называется новый вектор , длина которого равна |λ| · ||, а направление совпадает с направлением вектора , если λ > 0 и противоположно ему при λ < 0.