Основные свойства смешанного произведения векторов:
1. Имеют место равенства:
2. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный:
3. Свойство распределительности:
4. Свойство сочетательности:
5. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю, например
Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей (формула смешанных векторов)
Компланарность векторов
Геометрические свойства смешанного произведения
где знак плюс выбирается, если определитель третьего порядка равен положительному значению, и знак минус – в противоположном случае.
где знак плюс выбирается, если определитель третьего порядка равен положительному значению, и знак минус – в противоположном случае.
Определение. Смешанным произведением векторов , называется число , равное скалярному произведению вектора на вектор то есть
Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:
Определение и условие. Векторы лежат водной плоскости, то есть компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, то есть
1. Объем параллелепипеда, построенного на вектора (рис. 23), определяется по формуле:
2. Объем пирамиды, построенной на вектора , определяется по формуле:
Пусть дан параллеллипипед, построенный на векторах (рис 23) Высоту параллелипипеда, которая проведена к нижнему основанию, образованному векторами можно найти по формуле:
Пусть дана пирамида, построенная на векторах (рис 24). Высоту пирамиды, которая проведена к основанию, образованному векторами можно найти по формуле: