Два вектора называются равными, если они имеют общее направление и одинаковые длины.
Существует два правила геометрического сложения векторов:
Если эта система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Если система имеет более одного решения, то любое решение этой системы называется частным решением.
Пусть A – матрица системы. Тогда расширенная матрица системы имеет вид A = (A|B) =
Теорема о совместности (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы A равен рангу расширенной матрицы системы A ̅: r(A) = r(A ̅). Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определена она или нет. При этом возможны три варианта:
1) Если r(A) < r(A ̅) (то есть ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы системы), то система несовместна.
2) Если r(A) = r(A ̅) = n (где n – число неизвестных), то система совместна и имеет единственное решение, то есть определена.
3) Если r(A) = r(A ̅) < n, то система совместна и имеет более одного решения, то есть не определена.
Величины, которые полностью определяются заданием своих числовых значений, называются скалярными величинами (масса, длина, площадь). Величины, для задания которых необходимо знать еще и направление, называются векторными величинами (сила, скорость, ускорение). Вектором называется направленный отрезок: A – начальная точка, B – конечная точка.
Векторы и называются противоположными.
Если начальная и конечная точки вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается .
Длина вектора – это неотрицательное число, равное длине отрезка AB.
1. При нахождении суммы векторов + по правилу треугольника от конечной точки вектора откладывают вектор . Тогда вектор + направлен от начальной точки вектора к конечной точке вектора .
2. При нахождении суммы векторов + по правилу параллелограмма нужно отложить векторы и от одной точки и построить на векторах и параллелограмм. Тогда вектор-диагональ параллелограмма, выходящий из общей начальной точки векторов и есть вектор суммы + .
Произведением вектора на число λ называется новый вектор λ , длина которого равна |λ| · ||, а направление совпадает с направлением вектора , если λ > 0 и противоположно ему при λ < 0.
Каждый вектор равен сумме произведений трех основных векторов на соответствующие координаты вектора : = (x, y, z) = i + j + k.
Пусть даны две точки и . Тогда координаты вектора вычисляются по следующей формуле: .
Модулем или длиной вектора || называется длина отрезка, изображающего вектор. Если вектор задан прямоугольными координатами = (x, y, z), тогда || = .
Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными