Теорема "О разложении по строке или столбцу". Сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю:
Если одна строка матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.
Если строку матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число.
Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель поменяет знак на противоположный.
Определитель матрицы с равными строками равен нулю.
Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю.
Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых
Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов (базисных векторов).
Теорема о разложении вектора по базису.
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что координаты единственным образом определяют вектор.
Минором элемента называется определитель (n − 1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством
Из данного свойства вытекает, что все утверждения, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.
Если — базис n-мерного линейного пространства V, то любой вектор 𝑣 ∈ V может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно.
Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом. Действительно, размерность пространства V равна n. Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора V, получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из n+1 векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.